A New Recursive Formula to Derive the Fourier Transforms of Cosine-Pulses Using Modified Class-I PRS Model

수정된 제1종 부분 응답 전송 시스템 모델을 이용한 여현 펄스 푸리에 변환의 새로운 순환 공식

This paper presents a new and easy method to obtain the Fourier transforms of the n-th order cosine-pulses whose maximum amplitudes are uniform. The new method is focused on deriving a formula which is recursively related following their orders and can be well applied to some numerical solutions. On the other hand, this method also offers more compact procedures in view of analytical solutions than the conventional methods because the results are consist of the sum of two functions which are easily calculated. Especially, the formula can be represented as a complete recursion by the separation of coefficients originated by the authors and the resulting difference equation is given by the sum of the original 'sinc' functions shifted by some symmetrical factors and multiplied by some constants. The constants are easily decided from the binomial coefficients and the shifting factors from the corresponding exponential differences in the expansion of $(a+b)^n$.

본 논문에서는 일정한 구간 내에 한정되고 최대치가 균일하도록 설정된 임의 차수 여현펄스의 푸리에 변환을 유도하기 위한 새롭고 용이한 방법을 제안하였다. 제안된 방법은 수치적 해법에 원활하게 적용될 수 있도록 함수의 각 차수에 따라 순환적으로 유도되는 공식에 초점을 두고 있다. 반면에, 유도된 관계식은 용이하게 계산될 수 있는 두함수의 합에 의하여 나타나므로 해석적 해법의 관점에서도 기존의 방법보다 간결한 과정을 제공한다. 특히, 저자 등에 의하여 발견된 계수 분리법에 의하여 공식은 완전 순환적 알고리듬으로 표현되며, 그 결과로 나타나는 자동방정식은 초기 'Sinc'함수가 차수에 따라 지연되어 상수가 곱해진 형태의 합으로 주어진다. 이 때 곱해지는 각 상수는 이항계수로부터 용이하게 결정되며, 'Sinc'함수의 지연요소도 이항식 $(a+b)^n$의 전개식에서 해당되는 항의 지수차에 의하여 쉽게 얻어진다.