Abstract
Multiprecision squaring is one of the most significant algorithms in the core public key cryptography operation. The aim of this work is to present a new improved squaring algorithm compared with the MIRACL's multi precision squaring algorithm in which the previous work [1] on multiprecision multiplication is implemented. First, previous works on multiprecision multiplication and standard squaring are analyzed. Then, our new Lazy Doubling squaring algorithm is introduced. In MIRACLE library [3], Scott's Carry-Catcher Hybrid multiplication technique [1] is applied to implementation of multiprecision multiplication and squaring. Experimental results of the Carry-Catcher hybrid squaring algorithm and the proposed Lazy Doubling squaring algorithm both of which are tested on Atmega128 CPU show that proposed idea has achieved significant performance improvements. The proposed Lazy Doubling Squaring algorithm reduces addition instructions by the fact $a_0\;{\ast}\;2\;+\;a_1\;{\ast}\;2\;+\;...\;+\;a_{n-1}\;{\ast}\;2\;+\;a_n\;{\ast}\;2\;=\;(a_0\;+\;a_1\;+\;...\;+\;a_{n-1}\;+\;a_n)\;{\ast}\;2$ while the standard squaring algorithm reduces multiplication instructions by the fact $S_{ij}\;=\;x_i\;{\ast}\;x_j\;=\;S_{ij}$. Experimental results show that the proposed squaring method is 25% faster than that in MIRACL.
Multiprecision Squaring은 공개키 알고리즘을 구성하는 연산 중에서 가장 중요한 연산 중 하나이다. 본 논문에서는 기존의 Multiprecision Squaring 알고리즘을 개선하여 연산 양을 줄임으로 성능을 항상시키는 Squaring 기법들을 제시하고 구현하였다. Scott이[1]에서 제안한 Carry-Catcher Hybrid 곱셈 알고리즘은 Gura가 제안한 Hybrid 곱셈 알고리즘[2]을 계승 발전시킨 것으로 MRACL 라이브러리에 구현되어 있으며, Carry-Catcher Hybrid 방법 사용한 Multiprecision Squaring 알고리즘도 MIRACL에 함께 구현되어 있다. 본 논문에서 이 Carry-Catcher Hybrid Squaring 알고리즘을 발전시켜 보다 효율적인 Squaring 알고리즘인 Lazy Doubling Squaring 알고리즘을 제안하고 구현하였으며, atmega128상에서 성능테스터를 수행하여 Carry-Catcher Hybrid Squaring 알고리즘과 비교하여 더 효율적인 알고리즘임을 보였다. 표준 Squaring 알고리즘이 $S_{ij}\;=\;x_i\;{\ast}\;x_j\;=\;S_{ij}$인 사실을 기반으로 곱셈의 횟수를 절반 가까이 줄인 알고리즘이라면 본 논문에서 제시한 Lazy Doubling Squaring 알고리즘은 $a_0\;{\ast}\;2\;+\;a_1\;{\ast}\;2\;+\;...\;+\;a_{n-1}\;{\ast}\;2\;+\;a_n\;{\ast}\;2\;=\;(a_0\;+\;a_1\;+\;...\;+\;a_{n-1}\;+\;a_n)\;{\ast}\;2$ 라는 사실을 기반으로 하여 doubling 연산 횟수를 획기적으로 줄인 알고리즘으로, MIRACL에 구현되어 있는 Multiprecision Squaring 알고리즘 보다 atmega128상에서 약 25% 정도의 빠른 결과를 얻을 수 있었으며, 저자가 아는 바로는 현재까지 나온 어떤 방법보다 빠르다.
