Robust Backstepping control of IPMSM Using PID Integral Sliding Mode

PID 적분슬라이딩모드를 이용한 IPMSM의 강인한 백스테핑제어에 관한 연구

Abstract

In this paper, robust backstepping controller for IPMSM is proposed based on the PID integral sliding mode control. Because of the unmatching condition of load, the sliding mode control is difficult to be used for IPMSM without backstepping. However, the backstepping control has the difficulty of deriving error dynamics which is derived by differentiating the previous input. This difficulty is avoided by adopting PID as a nominal controller for the integral sliding mode control. The proposed controller can be achieved easily by adding integral sliding controller to the conventional PID controller.

본 논문에서는 PID 적분슬라이딩모드를 이용한 IPMSM의 백스태핑제어를 제안한다. IPMSM에 슬라이딩모드를 이용함에 있어서 부하외란의 비정합성에 대한 걸림돌을 제거하기 위해 백스테핑기법을 적용한다. 슬라이딩모드제어기를 백스테핑에 적용시키는데 있어서의 어려움인 오차모델의 유도를 피하기 위하여 PID제어기와 적분슬라이딩모드를 결합한다. 결과적인 제어기의 형태는 기존의 PID제어 구조에 슬라이딩모드입력을 추가하는 형태로 구성되며 실제적인 적용에 있어서도 매우 유리한 구조이다.

Ⅰ. 서 론

영구자석형 동기전동기은 회전자자석의 부착형태에 따라서 표면부착형(SPMSM)과 매입형(IPMSM)으로 분류된다[1-3]. 제어에 있어서의 IPMSM은 자계전류가 영일 때 최대토크효율을 갖는 SPMSM과는 달리 자계전류를 영이 아닌 값으로 적절히 제어를 해주어야 하기 때문에 동특성에 있어서 비선형성을 그대로 고려하여 제어해야 한다[4-6].

본 연구에서는 강인성을 향상시키기 위해서 슬라이딩모드제어기를 적용하고자 한다. 그러나 IPMSM은 정합조건을 만족시키지 못하므로 슬라이딩모드를 적용하기가 어렵기 때문에 백스테핑기법을 사용하여 이 어려움을 극복한다.

백스테핑제어의 장점은 고차계통을 작은 차수의 계통으로 나누어 생각함으로써 제어기의 설계를 단계별로 할 수 있도록 함으로써 제어기구성에 있어서 안정도 등의 고려를 용이하게 한다는 데 있다. IPMSM에 있어서 백스테핑제어는 회전속도를 제어하기 위한 q축전류 값을 결정한 후 이 전류값으로 제어할 수 있는 q축 전압 제어값을 결정하는 것이다. 속도식을 이용하여 구한 전류값은 q축 전류 시스템의 기준입력이 되는 것이다[7-9]. 이 기준입력은 이전의 상태를 제어하기 위한 값으로 결정되었기 때문에 시간에 따른 변화가 큰 함수가 된다. 이러한 기준입력은 백스테핑제어의 오차모델을 구하는데 어려움을 준다.

본 논문에서는 이러한 어려움을 해결하기 위하여 오차모델을 필요로 하지 않는 PID제어기의 특성을 사용하며 전체적인 안정도 확보와 강인성도 증가시키기 위해 슬라이딩모드제어를 도입한다. 슬라이딩모드제어는 불확실성이 존재하는 경우에 제어계통의 동특성이 슬라이딩평면에 머물도록 함으로써 제어의 강인성을 보장받을 수 있는 제어방법이다 [10,11].

적분 슬라이딩모드제어는 초기에는 도달기간문제를 해결하는데 초점이 맞추어져 있었으나[12-14] 점차적으로 슬라이딩모드의 동특성을 확장하는 특성에 의해서 슬라이딩모드와 다른 제어기특성의 결합에 사용될 수 있는 가능성이 조명을 받고 있다 [15-17].

본 논문에서는 이러한 슬라이딩모드의 강인성과 PID제어의 성능을 결합하는데 이러한 특성을 사용한다.

불확실성이 존재하지 않는 공칭계통에 대해서 공칭 PID제어기를 설계하여 좋은 제어성능을 확보하는 것은 용이하며 그 공칭계통을 바탕으로 해서 슬라이딩모드가 정의되어 슬라이딩모드제어기를 구성하게 된다.

본 논문의 구성은 다음과 같다. 제 1장에서는 IPMSM에 대해서 설명하고 제 2장에서는 PID 적분슬라이딩모드제어에 대해서 설명한다. 제 3장에서는 IPMSM의 백스테핑 PID 슬라이딩모드제어기를 설계하고 제 4장에서는 시뮬레이션을 수행하고 제 5장에서는 결론에 대해서 서술한다.

 

Ⅱ. 문제 설정

IPMSM의 동특성방정식은 다음과 같다.

여기서 vd와 vq는 d-q축 전압들이고, id와 iq는 d-q 축 전류들이다, Ld와 Lq는 d-q축 고정자 인덕턴스이고, R은 고정자저항이고, Ψf는 회전자자속이고, Tl은 부하토크이다, Jm은 관성모멘트이고, Bm은 마찰계수, 그리고 p극들의 개수이다.

SPMSM의 경우에는 id 전류가 영일 때 MTPA(전류 당 최대토크)을 얻을 수 있기 때문에 id 전류를 영으로 제어한다. 위의 통특성 방정식에서 볼 때 id 전류가 영이 되면 직류모터의 동특성과 같아지기 때문에 제어하기가 용이하다. 그러나 IPMSM에서는 MTPA를 위해서 id는 영이 아닌 갑승로 제어가 되어야 한다. 다음은 MTPA를 얻기위한 id 전류에 관한 식이다. 다음 식은 토크식을 q축 전류 iq에 대해 미분하고 미분값이 영일 때의 id 값을 구한 것이다.

MTPA를 고려한 전형적인 IPMSM의 제어시스템은 PID제어기를 사용하고 있으며 구조는 다음과 같다.

위의 구조에서 vd는 전류 id를 제어하는데 사용하며 vq는 속도를 제어하는데 사용된다. 실제 계통에서는 부하외란이 항상 존재함으로 이에 대한 강인성을 향상하는 것이 필요하다. 본 논문에서는 강인성의 향상을 위하여 슬라이딩모드제어기를 사용하고자 한다. 슬라이딩모드제어를 vq 전압을 입력으로 하여 설계하면 부하토크에 의한 외란이 정합조건을 만족시키지 않기 때문에 슬라이딩평면이 외란의 영향에서 자유롭지 못함으로 강인성을 보장받지 못한다. 그림 1의 구조는 백스테핑의 구조를 가지고 있다. IPMSM에서 백스테핑 제어를 도입하면 속도식에서 iq전류를 속도제어입력으로 간주하기 때문에 정합조건 문제가 해결된다, 속도방정식을 기반으로 하여 iq 기준입력을 결정된 후, iq전류의 제어입력으로서 vq를 결정하는 것이 백스테핑 설계과정으로 iq 전류의 제어에 있어서 오차의 동특성이 필요하며 이 과정에서 기준입력의 미분을 필요로 한다. 그러나 본 연구에서와 같이 강인성을 향상시키기 위하여 슬라이딩모드제어기법을 사용하여 구성된 기준입력의 형태는 미분하기에는 적합하지 않다.

그림 1.IPMSM의 PID제어시스템의 구조 Fig. 1 PID Control Scheme of IPMSM

이에 본 연구에서는 PID제어기는 오차방정식을 구하지 않고 오차를 감소시킨다는 사실에 착안을 하여 오차방정식을 구하는 대신에 적분슬라이딩모드를 사용하여 PID제어기의 특성을 슬라이딩모드동특성에 포함시키는 아이디어로 이 문제를 해결하고자 한다.

 

Ⅲ. 백스테핑 PID 적분슬라이딩모드제어

본 연구에서의 백스테핑제어기의 설계 과정은 다음과 같다.

단계 1: 속도 상태방정식에 대한 제어입력 iq를 구성한다. 제어기 설계방법은 외란이 존재하는 공칭계통에 대한 PID제어기를 설계한다. PID제어기의 설계는 일반적인 방법을 사용한다. 외란이 존재하지 않는 계통이므로 좋은 성능을 얻을 수 있는 PID제어기를 용이하게 설계할 수 있다. 설계된 PID를 공칭제어기로 사용하여 적분슬라이딩모드제어기를 설계한다. 최대 크기를 알고 있는 미지의 외란에 대한 강인성이 PID제어기에 추가되는 것이다.

단계 2: 단계 1에서 구한 iq값(이하에서는 iqre f로 지칭한다)으로 iq를 제어하기 위한 vq입력을 구하는 과정이다. 일단 iq 전류식에 대한 PID제어기를 구성한다. 단계 1에서와 설명된 바와 같이 불확실성이 존재하지 않는 상황에서의 PID제어기는 쉽게 설계된다. 공칭 PID제어기의 성능을 그대로 유지하면서 전체 계통의 안정도를 보장하는 제어기를 설계한다.

3.1. 속도제어에 대한 PID ISMC 제어입력의 구성

식 (1)에서 속도에 관한 식은 다음과 같다.

여기서 iq를 제어입력으로 간주한다. 일단 부하외란이 존재하지 않는 상황에서 PID제어기를 설계한다. 공칭 PID제어기로서 실제계통에서도 부하가 없는 경우 좋은 성능을 낼 수 있는 PID제어기의 설계는 매우 용이하다. 공칭 PID제어기를 설계한 후 부하외란이 존재하는 경우에도 공칭시스템의 제어성능을 가질 수 있는 PID 적분 슬라이딩모드제어기를 설계하기로 한다. 설계 과정은 다음과 같다.

슬라이딩평면은 다음과 같이 정의한다.

여기서 zw는 다음과 같이 정의된다.

여기서 iqpid는 다음과 같은 PID제어기로서 외란이 존재하지 않은 상황에서 이득이 결정된다.

그리고 zw의 초기치를 다음과 같이 설정하면 초기시간부터 슬라이딩함수가 영이 되어 도달기간을 없앨 수 있다.

슬라이딩모드에 머무르도록 하는 제어입력을 구하기 위하여 Lyapunov 후보함수를 다음과 같이 정한다.

위의 함수가 리아프노프함수가 되는 조건은 다음과 같다. 아래 조건을 만족하면 시간이 지남에 따라 sw이 영으로 수렴하게 되어 슬라이딩평면에 머무르게 된다.

위의 조건을 만족시키는 입력은 다음 정리와 같다.

정리 1. 속도시스템에 있어서 부하외란이 존재하는 경우에도 외란이 존재하지 않는 경우의 PID제어 성능을 유지시키는 적분슬라이딩모드 제어입력은 다음과 같다.

여기서 Tmax 부하외란의 최대크기로 다음과 같다.

증명: iqs 입력을 구하는 과정은 다음과 같다.

정리 1에서의 입력 식(7)을 대입하면 다음과 같다.

증명 끝.

3.2. q축 전류를 제어를 위한 PID ISMC 제어입력의 구성

3.1절에서 결정된 입력 iqs을 바탕으로 iq 전류식에 대한 제어입력 vq를 결정하는 과정은 다음과 같다. 구해진 iqs값을 iqre f라고 하면 이것은 iq 전류제어시스템의 기준입력이 된다. 일반적으로 백스테핑에서는 다음과 같이 오차시스템을 결정해야 한다.

위의 식에서 은 슬라이딩모드입력의 채터링을 포함하고 있기 때문에 미분값이 매우 커질 가능성이 있으며 미분 결과도 수식적으로 복잡하다. PID제어시스템은 오차방정식을 사용하지 않고 오차를 영으로 제어할 수 있는 특성을 이용하면, 첫 번째 단계에서 구한 기준입력의 미분계산을 피해갈 수 있는 길을 열 수 있다.

1식 (1)에서 iq의 동특성방정식은 다음과 같다.

슬라이딩 평면은 다음과 같이 정의 한다.

여기서 zq는 다음과 같이 정의된다.

여기서

전체 계통을 안정하게 하기 위한 iq입력을 구하기 위해 다음과 같이 Lyapunov 후보함수를 정한다.

정리 2. 전체 시스템을 안정화시키고 공칭 PID 전류 제어 특성을 유지할 수 있는 vq는 다음과 같다.

여기서

증명: 위의 함수가 Lyapunov함수가 되는 조건은 다음과 같다. 아래 조건을 만족하면 시간이 지남에 따라 V가 영으로 수렴하게 되어 슬라이딩평면에 머무르게 된다.

각 항이 영보다 작도록 하면 된다. 첫 항에 대해 살펴보면 다음과 같다.

여기서 이 영보다 크기 때문에 iqre f를 식 (15)로 다시 결정하면 다음과 같다.

swṡw ˂0이 만족될 수 있음을 알 수 있다.

두 번째 항에 대해서 살펴보도록 하자.

식 (11)를 대입하면 다음과 같다.

그러므로 가 만족됨을 알 수 있다.

증명 끝

정리 2의 증명으로부터 전체시스템에 대한 안정도가 확보됨을 확인할 수 있다.

 

Ⅳ. 시뮬레이션

시뮬레이션에 사용되는 IPMSM의 파라미터는 다음과 같다.

표 1.시뮬레이션에 사용된 IPMSM의 파라메터값 Table. 1 IPMSM Parameters for Simulation

슬라이딩 평면들은 다음과 같다.

zw와 zq는 다음과 같다.

제어입력 vq은 다음과 같이 결정되었다.

정현파 부하외란이 존재하는 경우 PID-백스태핑 제어와 제안된 제어기의 속도제어 결과를 비교하면 그림 2와 같다.

그림 2.외란이 존재하는 경우 PID백스태핑제어기와 제안된 제어기의 속도응답 Fig. 2 Speed Responses of PID-Backstepping and Proposed controller with Disturbance

그림 2에서 PID-백스태핑 제어기는 부하외란의 영향을 받고 있으며 제안된 제어기는 강인한 특성을 보여주고 있다.

전류 iq의 시간응답은 다음 그림 3과 같다.

그림 3.iq 시간응답 Fig. 3 Time Responsed of iq

그림 3에서 제안된 제어기의 전류는 외란을 처리하면서도 PID와 비교해서 크기에 있어서 차이가 나지 않음을 볼 수 있다. MTPA를 위한 전류 id의 시간응답은 다음 그림 4 와 같다.

그림 4.id 시간응답 Fig. 4 Time Responsed of id

그림 4는 id 전류값은 서로 차이가 없음을 보여주고 있다. 제어입력은 vq는 다음 그림 5와 같다.

그림 5.제어입력 vq Fig. 5 Control Input vq

그림 5에서 제안된 전류기의 제어입력은 외란처리를 하는 성분이 포함되어 있음을 볼 수 있다.

다음 그림 6은 슬라이딩 함수의 값을 나타내고 있다. 그림 6 은 슬라이딩 함수 값이 충분히 작게 제어되었음을 보여주고 있다.

그림 6.슬라이딩 함수값 Fig. 6 Sling Function

 

Ⅴ. 결 론

본 연구에서는 IPMSM의 슬라이딩모드를 적용하는데 있어서 백스테핑 기법을 적용함으로써 정합조건을 만족시킬 수 있도록 하였다. 백스태핑 제어에 슬라이딩 모드를 적용함에 있어서 오차방정식의 유도에 따르는 어려움을 PID제어기와 적분슬라이딩모드를 함께 적용함으로써 극복하였다.

제안된 PID 슬라이딩모드 백스태핑제어기는 기존의 통상적으로 사용되는 PID제어구조에 비해서 강인성을 향상시킬 수 있고 전체 안정도를 확보할 수 있음을 증명하고 시뮬레이션을 통하여 검증하였다. 본 연구의 결과는 기존의 PID제어에 강인성 향상을 위한 입력을 구성하여 추가하는 형태이기 때문에 실제 적용에도 유리한 형태를 가지고 있다.