지수함수 형태의 거리함수에서 미분계수의 절차적 지식 구성과 표현의 변화에 대한 사례연구

A Case Study on the Change of Procedural Knowledge Composition and Expression of Derivative Coefficient in Exponential Function Type Distance

  • 투고 : 2017.11.08
  • 심사 : 2017.12.12
  • 발행 : 2017.12.29

초록

본 연구는 미분계수를 절차적 지식(거리함수 f(x)에서 a초에서 k초까지의 평균속력을 식으로 구성하여, 분모에 있는 인수를 약분한 다음 a에 k를 대입하여 속력함수를 구하는 방식)으로 구성한 고등학교 1학년 학생 세 명과의 교수실험 내용을 분석한 연구이다. 특히 본 연구에서는 분모에 있는 인수가 약분되기 어려운 거리함수(무리함수, 지수함수)에서 속력함수를 구성하는 과정을 중심으로 학생들이 구성한 절차적 지식에 대하여 학생 스스로의 고민과 표현이 어떠한지를 중심으로 분석하였다. 이 과정에서 학생들은 최초 구성한 절차적 지식에 대하여 다양한 고민과 표현의 변화를 보여주었다. 특히 학생B는 이 과정에서 기존에 자신이 알고 있는 지식을 모두 설명하지 못할 경우 자신이 구성한 미분계수를 구하는 절차에 대하여 고민하고 반성하는 모습을 보여주었다. 본 연구는 미분계수 학습에서 학생들의 계산 방식에 대한 이해를 더해주고, 미분계수를 구할 때 절차적 지식을 구성한 학생들에게 어떻게 자신들이 구성한 절차에 대하여 반성할 수 있는 기회를 제공할 것인지에 대하여 고민하였다는 점에서 의미를 갖는다.

The purpose of this study is to investigate the relationship between the distance function average speed and the speed function. Particularly, in this study, we investigate the process of constructing the speed function in the distance function (irrational function, exponential function) which is difficult to weaken the argument in the denominator. In this process, students showed various anxieties and expressions about the procedural knowledge that they constructed first. In particular, if student B can not explain all the knowledge he already knows in this process, he showed his reflection on the process of calculating the differential coefficient. This study adds an understanding of the calculation method of students in differential coefficient learning. In addition, it is meaningful that the students who construct procedural knowledge at the time of calculating the differential coefficient have thought about how to provide opportunities to reflect on the procedure they constructed.

키워드

참고문헌

  1. 강명희 (2015). 학생들의 개념적 지식과 절차적 지식의 발달과 초등수학 교과서 내용구성에 관한 고찰. 학습자중심교과교육연구, 15(10), 773-753.
  2. 남진영(2008). 수학적 지식의 구성. 서울: 경문사.
  3. 마민영 (2017). 중학생들의 일차함수에 대한 이 해와 발달. 한국교원대학교 대학원 박사학위논문.
  4. 박임숙, 김흥기 (2002). 고등학교에서의 극한개념 교수․학습에 관한 연구. 수학교육학연구, 12(4). 557-582.
  5. 양은경, 신재홍 (2014). 작도 접근 방식에 따른 중학생의 기하학적 특성 인식 및 정당화. 수학교육학연구, 24(4). 515-536.
  6. 이동근 (2017). 고등학교 1학년 학생들의 시간, 속력, 거리의 관계에서 평균속력에 대한 인식과 평균속력 함수 구성에 대한 연구. 한국교원대학교 대학원 박사학위논문.
  7. 이동근, 안상진, 김숙희, 신재홍(2016). 거리함수와 속력함수에서, 거리와 속력의 관계에 대한 학생들의 인식과 표현의 변화과정에 대한 연구. 학교수학, 18(4). 881-901.
  8. 이동근, 양성현, 신재홍 (2017). 자연상수 e 에 대한 이해를 기반으로 지수함수 $y=2^x$$x=0$ 에서의 순간변화율 구성에 관한 연구. 학교수학, 19(1), 95-116.
  9. 이응석, 김진호(2016). 구성주의를 반영한 수학 수업이 학생의 지식 생성 수준 및 추론능력에 미치는 영향. 초등수학교육, 19(1), 79-112.
  10. 임재훈, 홍진곤(1998). 조작적 구성주의와 사회적 국성주의에서 구성의 의미와 과정. 수학교육학연구, 9(1), 299-312.
  11. 전영배, 노은환, 최정숙, 김대의, 정의창, 정찬식, 김창수 (2009). 미분 문제해결 과정에서의 오류 분석. 한국학교수학회논문집, 12(4), 545-562.
  12. 정연준 (2010). 미분계수의 역사적 발달 과정에 대한 고찰. 학교수학, 12(2), 239-257.
  13. Boyer, C. (1959). 미분적분학사-그 개념의 발달. 김경화 역, 서울: 교우사.
  14. Confrey, J. (1990). What constructivism implies for teaching. In R. B. Davis, C. A. Maher & N. Noddings (eds.), Constructivist views of the teaching and learning of mathematics(Journal for Research in Mathematics Education, Monograph No. 4, pp. 107-122). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.
  15. Canobi, K. H. (2009). Concept-procedure interactions in children's addition and subtraction. Journal of Experimental Child Psychology, 102, 131-149. https://doi.org/10.1016/j.jecp.2008.07.008
  16. Eves, H. (1979). 수학사. 이우영, 신항균 역, 서울: 경문사.
  17. Glasersfeld, E. (1995). 급진적 구성주의, 김판수, 박수자, 심성보, 유병길, 이형철, 임채성, 허승희 역, 서울 : 원미사.
  18. Halford, G. S. (1993). Children's understanding: The development of mental model. Hillsdale, NJ: Erlaum.
  19. Hauger, G. S. (1995). Rate of change knowledge in high school and college students. p. 49. Washington, D.C. : ERIC Clearinghouse microfiches. ED392598.
  20. Hiebert, J., & Lefevre, P. (1986). Conceptual and procedural knowledge in mathematics: An introductory analysis. In J. Hiebert (Ed.), Conceptual and procedural knowledge: The case of mathematics (pp.1-27). Hillsdale, NJ: Erlbaum.
  21. Klein, M. (1953). 수학, 문명을 지배하다, 박영훈 역, 서울: 경문사.
  22. Merriam, S. B. (1997). 질적 사례연구법. 허미화 역, 서울: 양서원.
  23. Maxwell, J. A. (2012). Qualitative research design: An interactive approach (Vol. 41). Sage.
  24. Miller, S. P., & Hudson, P. J. (2007). Using evidence-based practices to build mathematics competence related to conceptual, procedural, and declarative knowledge. Learning Disabilities Research & Practice, 22(1). 47-57. https://doi.org/10.1111/j.1540-5826.2007.00230.x
  25. Orton, A. (1983). Studentʼs understanding of differentiation. Educational Studies in Mathematics, 14, 235-250. https://doi.org/10.1007/BF00410540
  26. Rittle-Johnson, B., & Schneider, M. (2014). Developing conceptual and procedural Knowledge of mathematics. In R. C. Kadosh & A. Dowker (Eds.), Oxford handbook of numerical cognition (pp.1118-1134). Ms, UK: Oxford University Press.
  27. Schneider, M., & Stern, E. (2010). The developmental relations between conceptual and procedural knowledge: A multimethod approach. Developmental Psychology, 46, 178-192. https://doi.org/10.1037/a0016701
  28. Zandieh, M. (2000). A theoretical framework for analyzing student understanding of the concept of derivative. CBMS Issues in Mathematics Education, 8, 103-122.