New Approaches for Calibrating Material Factors of Reinforced Concrete Members in Korean Highway Bridge Design Code (Limit State Design) and Reliability Analysis

도로교설계기준(한계상태설계법)의 콘크리트부재 설계를 위한 재료계수 결정법 및 신뢰도 분석

Abstract

This paper brings up fallacy of material factors specified for the design of concrete members in the current Korean limit state design code for highway bridges, and proposes new material factors based on a robust optimization scheme to overcome the fallacy. It is shown that the current load factors in the code and the proposed material factors lead to a much higher reliability index than the target index. The load factors are adjusted to yield the target reliability index using the inverse reliability analysis. A reliability-based approach following the basic concept of Eurocode is formulated to determine material factors as well as load factors. The load-material factors obtained by the proposed reliability-based approach yield a lower reliability level than the target index. Drawbacks of the basic concept of Eurocode are discussed. It is pointed out that differences in the uncertainties between materials and members may cause the lower reliability index of concrete member than the target.

이 연구에서는 국내 도로교 한계상태설계법에서 콘크리트부재의 설계를 위하여 적용하고 있는 재료계수의 문제점을 제기하고, 잘 정립된 최적화 과정에 의한 재료계수를 제안하였다. 신뢰도분석을 통하여 현 설계기준의 하중계수와 제안 재료계수가 목표신뢰도지수 보다 높은 신뢰도수준을 확보하고 있음을 보이고, 역신뢰도해석을 통하여 목표신뢰도지수를 잘 근사할 수 있는 하중계수를 제시하였다. 유로코드에서 제시하고 있는 기본 개념에 근거하여 신뢰도기반 하중-재료계수 결정법을 정식화하였다. 제안된 접근법이 신뢰도개념에 의하여 유도되었지만, 이 접근법에 의하여 계산된 하중-재료 계수가 목표신뢰도지수를 정확히 만족시키지 못하는 요인으로서 재료와 부재간에 존재하는 불확실성의 차이를 지적하고, 이러한 차이를 고려하지 않는 유로코드의 개념적 문제점을 제기하였다.

1. 서론

국내외적으로 교량의 설계기준에 신뢰도에 기반한 한계상태설계법이 널리 적용되고 있으며, 우리나라에서는 2010년에 도입되어 현재 국내 교량설계에 적용되고 있다. 국외의 AASHTO 교량설계기준(AASHTO, 2014)와 유로코드(CEN, 2002)는 모두 한계상태설계법에 기반하고 있어 개념적으로는 상당히 유사하지만 콘크리트부재를 설계하는 방식이 서로 다르다. AASHTO 교량설계기준에서는 부재강도 전체의 불확실성을 고려하여 부재저항계수를 정의하고 있으며, 유로코드에서는 재료저항의 불확실성을 고려한 재료계수를 제시하고 있다. 국내의 도로교설계기준(한계상태설계법)(KMOLIT, 2016; 이하 KHBDC(2016))에서도 재료계수개념이 도입되었으며, Kim and Lee(2000)의 연구를 근거로 한 재료계수를 적용하였다고 알려져 있다(Lee, 2015). Kim and Lee(2000)의 연구에 따르면 현재의 재료계수는 강도설계법(KCI·AIK, 1999)에서 정의된 부재저항계수를 가장 잘 근사하도록 결정하여 도입되었다. 그러나 강도설계법은 신뢰도개념이 도입되어 있지 않은 설계법이며, 강도설계법과 한계상태설계법에서 적용하는 하중계수의 차이를 고려하지 않고 재료계수를 결정하여 사실상 한계상태설계법에 적용하기에는 무리가 있다.

이 논문에서는 국내에서 적용되고 있는 재료계수를 결정하기 위하여 제안된 기존 최적화 기법의 문제점을 제시하고, 그러한 문제점을 해결하기 위한 새로운 최적화 기법을 제안한다. KHBDC (2016)에 정의된 하중-재료계수를 적용하여 콘크리트 부재의 신뢰도해석을 수행하였고, 그 결과 극한한계상태 1과 4에서 확보하고 있는 신뢰도지수가 목표신뢰도지수인 3.72 보다 상당히 높게 평가되고 있음을 보였다. 이러한 문제점을 해결하기 위하여 Lee et al.(2018b)에 의하여 제안된 방법을 적용하여 하중-저항계수를 조정하였고, 이 연구에서 제안한 최적화 방법을 통하여 결정된 새로운 재료계수가 목표신뢰도지수인 3.72를 잘 근사하고 있는 것을 보였다. 이러한 과정을 통하여 목표신뢰도지수를 잘 만족시키도록 하중-저항계수를 먼저 결정한 후 최적화 과정을 통하여 재료계수를 결정하여야 하며, 그렇게 결정된 재료계수는 반드시 최적화 과정에서 사용된 저항계수에 상응하는 하중계수와 함께 사용되어야 한다는 점을 밝혔다. 더불어 최적화 과정을 통하여 부재저항계수를 잘 근사하도록 결정된 재료계수가 원론적인 재료계수 개념에 부합하는지에 대한 의문점을 제기하였다.

유로코드에서는 신뢰도기반 부분안전계수의 기본 개념에 맞추어 재료계수를 정의하고 있지만, 유도과정에서 몇 가지 문제점을 발견하여 이에 대한 해결책을 제시하였다. 유로코드에서의 문제점으로 콘크리트와 철근의 파괴점에서 한계상태식의 단위법선벡터 성분을 동일하게 가정한 점, 하중계수를 고려하지 않은 상태에서 재료계수를 독립적으로 결정한 점, 그리고 복합재료의 부재거동에 대한 불확실성을 고려하지 않은 점을 들 수 있다. 이 논문에서는 유로코드의 접근법의 단점을 해결하기 위하여 신뢰도해석을 통하여 콘크리트와 철근의 파괴점에서 한계상태식의 단위법선벡터 성분을 계산하였으며, 그 대표값을 적용하여 재료계수를 결정하였다. 결정된 재료계수에 대한 하중계수를 최적화 과정을 통하여 제시하였으며, 제안된 하중-재료계수를 적용하여 콘크리트 부재의 신뢰도지수를 계산하여 제시하였다. 이 과정을 통하여 비록 재료계수가 목표신뢰도지수에 근거하여 결정되었다 하더라도 하중효과와 재료의 통계특성의 상대적인 영향을 고려하지 않았기 때문에 최적화에 의하여 결정된 하중계수에 대한 각각의 재료가 목표신뢰도지수를 정확하게 만족시키지 못하고 있음을 보였다. 이에 더하여 재료계수 결정시에 고려하지 않은 부재 자체의 불확실성에 의하여 콘크리트 부재의 신뢰도지수가 목표신뢰도지수 보다 낮게 평가된 요인으로 지적하였다.

2. 도로교설계기준에서의 재료계수

2.1 재료계수 및 신뢰도해석법

일반적으로 직사각형 단철근보의 공칭휨강도 및 순수 압축력을 받는 기둥의 공칭압축강도는 다음과 같이 정의된다.

\(M_n=\rho_\eta f_ybd^2(1-a\rho_\eta \frac{f_y}{f_{ck}})\)       (1)

\(P_n=A_g(0.85f_{ck}(1-\rho_{cp})+f_s\rho_{cp})\)

여기서, \(M_n\)은 공칭휨강도, \(P_n\)은 공칭압축강도이다. \(\rho\)는 철근비를 의미하며 각 변수의 아래첨자 \(fl\)및 \(cp\)는 각각 휨 및 압축부재에 해당하는 값을 지칭하기 위하여 사용된다. 휨 부재의 철근비는 \(\rho_{fl}=A_s/bd\)로 계산되며 압축부재의 철근비는 \(\rho_{cp}=A_s/A_g\)로 결정된다. 여기서\(A_s\)는 철근의 단면적,\(A_g\)는 전체단면적, \(b\)는 단면의 폭, \(d\)는 단면의 유효깊이를 나타낸다. \(f_{ck}\)는 콘크리트의 압축강도, \(f_s\)는 철근의 응력, \(f_y\)는 철근의 항복응력을 지칭한다. \(a\)는 콘크리트 응력 분포에 따라 결정되는 값으로 등가직사각형응력분포를 선택하는 강도설계법에서는 1/1.7이며, 한계상태설계법의 콘크리트 응력-변형률 곡선을 사용하였을 때에는 \(a=\chi/(0.85\alpha)\)이다. 여기서 \(\alpha\)는 콘크리트 압축 합력 크기의 계수이며 \(\chi\)는 콘크리트 압축 합력 작용점 위치의 계수이다. 일반적으로 \(\chi\)는 철근콘크리트 분야에서 \(\beta\)로 정의되는 변수이지만 신뢰도지수와의 구분을 위하여 이 연구에서는 \(\chi\)를 사용한다.

부재저항계수는 재료의 공칭강도와 실제 강도의 차이, 부재의 제작 오차, 그리고 부재 강도 추정 및 구조 해석의 불확실성을 고려하기 위한 부분안전계수로 설계강도는 부재저항계수를 공칭강도에 곱한 값으로 정의된다. 반면에 재료계수는 재료의 공칭강도에 곱하여 재료의 설계 값을 설정하기 위하여 설정되는 부분안전계수이며, 이 때의 설계강도는 재료의 설계 값으로 계산되는 강도로 정의된다. 재료계수에 의해 결정되는 설계강도와 공칭강도의 비를 등가저항계수로 정의하면 다음과 같다.

\(\Psi_{fl}(\theta_s,\theta_c)=\theta_s\frac{1-a\tilde{\rho_{fl}}(\theta_s/\theta_c)}{1-a\tilde{\rho_{fl}}}\)       (2)

\(\Psi_{fl}(\theta_s,\theta_c)=\theta_s\frac{0.85(1-\rho_{cp})+\tilde{\rho_{cp}}(\theta_s/\theta_c)}{0.85(1-\rho_{cp})+\tilde{\rho_{cp}}}\)

\(\approx\theta_s\frac{0.85+\tilde{\rho_{cp}}(\theta_s/\theta_c)}{0.85+\tilde{\rho_{cp}}}\)

여기서, \(\Psi\)는 등가저항계수며 \(\theta\)는 재료계수이다. 변수의 아래첨자 \(c\)와 \(s\)는 콘크리트와 철근을 지칭하기 위하여 사용된다. \(\tilde{\rho}\)는 강도철근비를 의미하며 휨 부재의 강도철근비는 \(\tilde{\rho}_{fl}=\rho_{fl}f_y/f_{ck}\), 압축부재의 강도철근비는 \(\tilde{\rho}_{cp}=\rho_{cp}f_s/f_{ck}\)로 정의된다.

Kim and Lee(2000)의 연구에서는 기존 설계기준의 부재저항계수를 가장 잘 근사하도록 재료계수를 설정하였다. 등가저항계수와 기존 설계기준의 부재저항계수의 오차 최소화를 위한 목적함수를 휨과 압축부재에 대하여 각각 다음과 같이 정의 하였다.

\(\Phi_{fl}(\theta_s,\theta_c)=\phi_{fl}-\Psi_{fl}\),   \(\Phi_{cp}(\theta_s,\theta_c)=\phi_{cp}-\Psi_{cp}\)       (3)

여기서, \(\Phi\)는 최적화의 목적함수이며 \(\phi\)는 부재저항계수이다. Kim and Lee(2000)의 연구에서는 기존 설계기준(KCI·AIK, 1999)에서 사용된 부재저항계수인 \(\phi_{fl}=0.85\) , \(\phi_{cp}=0.70\)를 적용하여, 210개의 휨 부재와 56개의 순수 압축부재에 대한 최적화를 개별적으로 수행하였다. 그 결과를 바탕으로 콘크리트 및 철근의 재료계수를 각각 0.65 및 0.90으로 제안하였으며, 이 재료계수가 현 KHBDC(2016)에 도입되었다고 알려져 있다(Lee, 2015). Kim and Lee(2000)이 제안한 재료계수에 상응하는 한계상태설계법의 등가저항계수를 Eq. (2)를 통하여 계산하였으며 Fig. 1에 그 결과를 도시하였고, 대표적인 강도 철근비 0.1, 0.2 그리고 0.3에 대하여 Table 1에 정리하여 제시하였다.

Fig. 1. Variations of Equivalent Resistance Factors with Strength- Reinforcement Ratio of Bending and Compression Members

Table 1. Material Factors and Equivalent Resistance Factors for Individual Strength-Reinforcement Ratios

Kim and Lee(2000)의 연구에서는 특별한 하중조합을 고려하지 않았으나, 일반적으로 한계상태설계법에서는 변동하중으로서 차량하중을 고려하는 중력방향 하중조합을 기본으로 하여 하중-저항계수를 결정한다. 중력방향 하중조합은 KHBDC(2016)에서의 극한한계상태 1과 4에 해당하며, 그 설계식은 다음과 같이 표시된다.

\(\phi R_0=\sum_i \gamma_i(Q_i)_0\)       (4)

여기서, R은 부재강도, \(Q_i\)는 \(i\)번째 하중의 하중효과, \(\gamma_i\)는 \(i\)번째 하중의 하중계수를 지칭한다. 각 변수의 아래첨자 0은 공칭값을 의미하며, Eq. (4)에 의하여 결정되는 \(R_0\)를 요구공칭강도라 정의한다. Eq. (4)에서 고려하는 하중은 구조부재의 자중(DC), 포장 및 설비 하중(DW) 그리고 충격을 포함한 차량하중(LL)이다. Lee et al.(2018a)은 신뢰도해석 과정을 일반화하고 단순화하기 위하여 Eq. (4)에 주어진 설계식과 이에 상응하는 한계상태식을 총 공칭하중효과로 나누어 표시하는 표준화 기법을 도입하였다. 이 표준화 방법을 적용하여 한계상태식을 표시하면 다음과 같다.

\(\bar{G}=\frac{R}{C_0}-\sum_i \frac{Q_i}{C_0}=\bar{R}-\sum_i\bar{Q_i}=0\)       (5)

여기서, \(G\)는 한계상태식, \(C_0=\sum_i(Q_i)_0\)로서 총 공칭하중효과다. 윗줄로 표시된 확률변수는 총 공칭하중효과로 표준화된 확률변수이다. Eq. (5)에 주어진 표준화된 한계상태식의 신뢰도지수는 개선된 일계이차모멘트법(Haldar and Mahadevan, 2000)에 의하여 다음과 같이 계산할 수 있다.

\(\beta=\frac{\mu_R^{eq}-\sum_i\mu_{Q_i}^{eq}}{\sqrt{(\sigma_R^{eq})^2+\sum_i(\sigma_{Q_i}^{eq})^2}}=\frac{\mu_{\bar{R}}^{eq}-\sum_i\mu_{\bar{Q_i}}^{eq}}{\sqrt{(\sigma_{\bar{R}}^{eq})^2+\sum_i(\sigma_{\bar{Q_i}}^{eq})^2}}\)       (6)

여기서, \(\beta\)는 신뢰도지수이며, \(\mu_X\)와 \(\sigma_X\)는 확률변수 \(X\)의 평균과 표준편차를 나타낸다. 비정규분포 확률변수는 Rackwitz-Fiessler 변환(Rackwitz and Fiessler, 1978)을 이용하여 등가의 정규분포 확률변수로 나타내며 등가정규분포 확률변수의 평균과 표준편차는 윗첨자 eq로 표시한다.

Lee et al.(2018a)은 표준화된 변수에 공학적 의미를 부여하기 위하여 다음과 같은 하중비 개념을 도입하였다.

\(\xi=\frac{(Q_{DC})_0+(Q_{DW})_0}{\sum_i(Q_i)_0}=(\bar{Q}_{DC})_0+(\bar{Q}_{DW})_0\)       (7)

\(\eta=\frac{(Q_{DC})_0}{(Q_{DC})_0+(Q_{DW})_0}=\frac{(\bar{Q}_{DC})_0}{(\bar{Q}_{DC})_0+(\bar{Q}_{DW})_0}\)

여기서, \(\xi\)와 \(\eta\)는 각각 고정하중비와 DC하중비로 지칭하며, 총 공칭하중효과에서 고정하중효과가 차지하는 비율과 총 고정하중효과에서 구조 부재에 의한 하중효과가 차지 하는 비율을 의미한다. 일반교에 적용되는 부재에서 고정하중비는 0.63~1.0 정도이고, DC하중비는 0.6~1.0 정도인 것으로 Lee et al.(2018b)가 제시하였다. 이 연구에서는 수행되는 모든 해석 과정은 전술한 하중비 범위를 대상으로 한다.

2.2 현 재료계수의 적용성 분석

Kim and Lee(2000)은 Eq. (3)에서 제시된 목적함수를 독립적으로 최적화하여 재료계수를 계산하였다고 기술하고 있다. 그러나, 한 쌍의 철근 항복응력과 콘크리트 압축강도가 주어진 경우 Eq. (3)에 의하여 정의되는 각 부재의 목적함수를 독립적으로 최적화할 수 없다. 이는 각 부재에 대한 목적함수가 2개의 미지수를 포함하고 있으나, 주어지는 조건식은 하나밖에 없어 해의 유일성이 보장되지 않는 부정방정식이 유도되기 때문이다. 만일 여러 물성치의 단면을 동시에 고려하고 휨과 압축에 대하여 독립적으로 최적화를 수행하면 휨과 압축부재에 대한 절대 최적해는 \(\theta_C=\theta_S=0.85\)과 \(\theta_C=\theta_S=0.70\)이 되며 그때의 휨과 압축부재에 대한 목적함수는 각각 영이 된다. 따라서 Kim and Lee(2000)이 제시한 재료계수가 유도될 수 없으며, 또한 휨과 압축부재에 동시에 적용할 수 있는 재료계수도 존재할 수 없다.

Table 2에는 국내의 대표적인 설계기준에서 적용하고 있는 하중-저항(재료)계수가 주어져 있으며, 비교를 위하여 Lee et al.(2018b)에 의해 제안된 최적 하중-저항계수를 같이 인용하였다. 표에서 USD와LSD는 각각 도로교설계기준(MOCT, 2005; 이하 KHBDC(2005))와 KHBDC(2016)을 의미한다. Kim and Lee(2000)은 콘크리트구조설계기준(KCI·AIK, 1999)을 강도설계법으로 인용하였으나, 이 연구에서는 동일한 저항계수를 사용하고 있는 KHBDC(2005)를 인용하였다. KHBDC(2016)에서는 중력방향조합으로 극한한계상태 1과 극한한계상태 4를 정의하고 있으며 각각의 한계상태는 대강 고정하중비 0.875 이하와 이상에서 설계를 지배하게 된다. 그러나 Lee et al.(2018b)는 고정하중비 0.63~1.00 사이에서는 단일 한계상태로 정의하는 것이 충분하다는 것을 보였으며, 이때의 하중계수를 Table 2에 보이고 있다.

Table 2. Load-Resistance/Material Factors Used in Presented Study

설계기준에서 확보하는 신뢰도수준은 부재저항계수와 하중계수의 영향을 동시에 받는다. 따라서 Kim and Lee(2000) 연구에서 제시한 재료계수는 그 연구에서 적용한 부재저항계수와 함께 사용되는 하중계수에 대해서만 적용할 수 있으며, 다른 하중계수를 사용하는 설계기준에 적용할 수 없다. Table 2에서 주어진 하중계수에 의한 총 계수하중효과를 계산하고, 고정하중비에 따른 총 계수하중효과의 변화를 \(​​​​\eta\)=0.8에 대하여 Fig. 2에 보였다. 그림에서 알 수 있듯이 총 계수하중효과는 설계기준에 따라 현저히 달라진다. 부재저항계수가 같은 값을 가지더라도 하중계수가 달라지면 하중-저항계수에 의하여 계산되는 요구공칭강도가 달라지게 되고 따라서 각 설계기준에서 확보하게 되는 신뢰도수준이 달라지기 때문에 어떤 설계기준에서 결정된 저항(재료)계수를 상이한 하중계수를 적용하는 다른 설계기준에 그대로 적용할 수 없다. 

Fig. 2. Variations of Total Factored Load Effect with Dead Load Ratio for Load-Factors in Table 2

신뢰도해석을 위한 하중 및 부재강도의 통계특성은 Table 3에 주어져 있으며 그 출처도 함께 명기하였다. 표에서 휨 강도와 하중효과의 통계특성은 Lee et al.(2018b)의 연구에서 KHBDC(2016)의 중력방향하중조합에 대한 목표신뢰도지수 3.72를 정확히 만족시키게 하는 하중-저항계수를 결정하기 위하여 사용된 통계특성과 동일하다. 압축강도의 통계특성은 적절한 국내의 통계자료가 없기 때문에 휨 강도의 통계특성에서 취성파괴의 불확실성을 변동계수에 추가적으로 고려하여 설정한 값이다. 압축강도의 변동계수는 AASHTO 교량설계기준의 압축부재에 대한 저항계수 0.75를 채택하였을 때 Table 2의 Lee et al.(2018b) 연구에서 제안한 하중계수와 함께 목표신뢰도지수 3.72를 정확하게 만족시키게 하도록 변동계수를 역산하였으며 그 값은 0.183으로 계산되었다. 표에서 주어진 통계자료들의 일관성이 부족하지만 국내의 유효한 자료 중에서 가장 적절한 자료를 인용한 것으로, 객관적인 통계자료가 추가적으로 확보 된다면 그 통계자료를 적용하여 더 엄밀하고 실제적인 분석이 가능할 것이다.

Table 3. Statistical Parameters for Strength of Reinforced Concrete Members and Load Effect

Fig. 3은 Kim and Lee(2000)이 제안한 재료계수 \(\theta_s=0.90\)와 \(\theta_s=0.65\)를 적용하여 KHBDC(2005)와 KHBDC(2016)의 중력방향 하중조합이 확보하는 부재별 요구공칭강도의 신뢰도지수를 보이고 있다. 각 확률 변수의 통계특성은 Table 3에 주어진 값을 적용하였으며, 각 강도철근비에 대한 등가저항계수는 Table 1에 주어진 값을 적용하였다. Fig. 3에서 각 설계기준에 대하여 도형으로 표시된 신뢰도지수는 재료계수를 적용한 경우이며, 실선으로 표시된 신뢰도지수는 부재저항계수를 적용한 경우이다. 그림에서 보이듯이 두 설계기준에서 동일한 저항(재료)계수를 적용하고 있지만, 신뢰도지수는 현저히 다르게 나타나고 있다. 이러한 현상은 두 설계기준에서 적용하고 있는 하중계수가 다르기 때문이다. Fig. 3에서 보이듯이 실제 신뢰도지수는 평균적으로 보아 약4.5정도로 KHBDC(2016)에서 명시하는 목표신뢰도지수 3.72보다 훨씬 크게 계산되었으며, 이는 현재의 하중-저항(재료)계수는 요구공칭강도를 너무 크게 산정하고 있는 것을 의미한다. 따라서 저항(재료)계수를 증가시키든지 혹은 하중계수를 감소시킴으로써 설계기준에서 정의한 목표신뢰도지수를 만족할 수 있도록 조정해야 할 것이다.

Fig. 3. Reliability Indices of Nominal Member Strength by Load-Material/Resistance Factors of USD and LSD

재료계수를 적용한 경우의 신뢰도지수는 부재저항계수를 사용하여 계산한 신뢰도지수와 각 설계기준에서 모두 유사한 경향성을 보이며, 재료계수 자체는 합리적인 값으로 평가할 수 있다. 그러나 Fig. 1에서 보인 것처럼 철근비가 감소할수록 등가저항계수가 휨 부재에서는 증가하고 압축부재에서는 감소하기 때문에, Fig. 3에서 보인 것과 같이 철근비가 감소할수록 휨 부재의 신뢰도지수는 증가하고 압축부재에서는 신뢰도지수가 감소한다. 이러한 현상은 모든 부재에서 균등한 신뢰도 확보를 추구하고 있는 신뢰도기반 설계법의 기본 개념과 부합하지 않기 때문에 현재 재료계수 개념을 신뢰도기반 설계기준에 적용할 수 있을 지에 대한 원론적인 문제점을 제기하지 않을 수 없다.

Kim and Lee(2000)의 연구에서는 콘크리트 부재의 휨 강도 계산시 한계상태설계법에서 채택하고 있는 포물선-직선 형상의 응력-변형도 곡선을 사용하지 않고 강도설계법에서 채택하고 있는 등가직사각형 응력분포를 사용하였다. 한계상태설계법과 강도설계법에서 적용하는 방법에 따르면 Eq. (1)의 a 값은 각각 0.61과 0.59 정도에 해당한다. 물론 이 두 값의 차이가 크지는 않지만, 해당 설계기준에 정의된 규정에 따라 계산한 값을 적용하여 재료계수를 결정해야 할 것이다.

기존연구(Kim and Lee, 2000)에서는 재료계수를 적용하면 연성도가 커질수록 등가저항계수가 커지기 때문에 보다 합리적인 설계라고 기술하고 있다. 이 때의 연성도는 곡률연성지수를 사용하여 정의하였으며, 휨 부재에서 최외측 인장철근이 항복변형도에 도달할 때의 곡률에 대한 콘크리트압축연단의 변형도가 0.003에 도달할 때의 곡률의 비로 정의하고 있다. 이 정의에 따르면 연성도는 철근양이 줄어들수록 커지고, Fig. 1에서 보인 바와 같이 철근양이 줄어들면 휨 부재의 등가저항계수가 커지게 된다. 이러한 현상을 신뢰도 관점에서 보면 철근양이 줄어들수록 부재의 불확실성이 감소한다는 의미이다. 그러나 철근양이 줄어들수록 불확실성이 철근보다 큰 콘크리트가 차지하는 비율이 커지게 되어 오히려 불확실성이 더 커지기 때문에, 신뢰도 관점에서 보면 등가저항계수가 감소하여 보다 큰 요구공칭강도를 확보하도록 하여야 한다. 따라서 철근비가 작을수록(혹은 연성도가 커질 수록) 휨 부재의 등가저항계수가 커진다는 것은 신뢰도 개념에 정면으로 위배되는 것으로, 신뢰도기반 설계기준에서 합리적인 접근법으로 제시할 수 없을 것이다.

3. 최적화기반 재료계수 결정법

3.1 역신뢰도해석 및 하중-저항계수의 조정

목표신뢰도지수를 만족하게 하는 표준화된 부재강도는 다음과 같은 식으로부터 계산할 수 있다.

\(\beta(\bar{R}_T^j(\xi,\eta))=\beta_T,\)  \(j=fl,cp\)       (8)

여기서, \(\bar{R}_T\)는 주어진 하중비에 대한 표준화된 목표부재강도이며, \(\beta_T\)는 목표신뢰도지수이다. Eq. (6)에서 볼 수 있듯이 신뢰도지수는 확률변수의 통계특성에 대한 비선형함수로 나타나기 때문에 Eq. (8)를 풀기 위해서는 반복계산법이 필요하다. 위와 같이 목표신뢰도지수를 만족하게 하는 공칭강도를 결정하는 과정을 일반적으로 역신뢰도해석(Der Kiureghian et al., 1994)이라 정의한다. 이 연구에서는 Newton-Raphson 방법을 기반으로 하여 표준화된 목표부재강도를 계산하며 자세한 과정은 Lee et al.(2018b)에 기술되어 있다. 역신뢰도해석을 위한 통계특성은 Table 3의 값을 이용하였다.

역신뢰도해석으로부터 목표부재강도가 결정될 때 확률변수의 파괴점(most probable failure point)을 함께 계산할 수 있다. 신뢰도기반 하중-저항계수 개념에 따라 역신뢰도해석에서 계산되는 파괴점을 공칭값으로 나눔으로써 목표신뢰도지수를 확보하는 저항 및 하중계수를 결정할 수 있다. 목표부재강도는 하중비에 따라 다르게 결정되므로 목표신뢰도지수를 만족하게 하는 하중-저항계수 역시 하중비에 따라 달라진다. 이러한 이유로 설계기준에서는 허용 오차범위 내에서 목표신뢰도지수를 가장 일정하게 만족하게 하는 하중-저항계수 조합을 대푯값으로 제시한다. 하지만 Fig. 3에서 보인 바와 같이 KHBDC(2016)에 명시된 하중-재료계수의 신뢰도지수는 목표신뢰도지수 3.72를 훨씬웃돌고 있기 때문에 현 설계기준의 하중계수 혹은 재료계수의 조정이 반드시 필요하다.

최근 Lee et al.(2018b)는 주어진 고정하중비와 DC하중비 범위 내에서 목표강도를 가장 잘 근사하게 하는 최적화기반 하중-저항계수 결정 방법을 제안하였다. 이 연구에서는 Lee et al.(2018b)의 방법을 채택하여 KHBDC(2016)의 하중-재료계수가 목표신뢰도지수를 만족할 수 있도록 하중계수를 조정한다. Lee et al.(2018b)에 의하여 제안된 최적화기반 하중-저항계수 결정 방법은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

\(\underset{\boldsymbol{\phi}, \mathbf{\gamma}}{\operatorname{Min}} \Pi=\frac{1}{2} \int_{\xi^{\prime}}^{\xi^{u}} \int_{\eta^{\prime}}^{\eta^{u}}\left(\overline{\mathbf{R}}_{0}(\boldsymbol{\phi}, \mathbf{y}, \xi, \eta)-\overline{\mathbf{R}}_{T}\right)^{T} \cdot\left(\overline{\mathbf{R}}_{0}(\boldsymbol{\phi}, \mathbf{y}, \xi, \eta)-\overline{\mathbf{R}}_{T}\right) \mathrm{d} \eta \mathrm{d} \boldsymbol{\xi}\)       (9)

여기서, φ, γ그리고 \(\overline{\mathrm{R}}\)는 저항계수벡터, 하중계수벡터 그리고 표준화된 부재강도벡터를 의미하며, 변수의 윗첨자 u와 l은 적분구간의 상한값과 하한값을 지칭하기 위하여 사용된다. Eq. (9)에서 \(\xi\)및 \(\eta\)방향 적분을 위하여 각각 사다리꼴 적분과 7점 가우스적분법을 사용하였다. 사다리꼴 적분에서는 \(\xi\)방향으로의 적분 구간을 0.005 간격으로 분할하였다. 이후 제시되는 모든 신뢰도지수는 \(\eta\)방향으로 7점 가우스 적분을 적용하여 계산한 평균값이다.

Table 2의 LSD에 해당하는 하중계수를 고정된 값으로 적용하고 미지수를 휨부재의 저항계수로 설정하여 전술한 최적화를 수행 한다. 그 결과 LSD의 하중계수와 함께 목표신뢰도지수를 가장 균일하게 만족시키는 휨 부재의 저항계수는 0.968로 계산되었다. 계산된 휨 부재의 저항계수를 Lee et al.(2018b)와 AASHTO 교량설계기준에서 제시하는 부재저항계수 0.90과 일치시키기 위하여 하중-저항계수를 모두 0.968로 나누고 0.90을 곱하여 Table 2의 조정된 LSD 항목에 정리하여 제시하였으며 조정된 하중계수에 의한 총 계수하중효과를 Fig. 2에 도시하였다. 이렇게 조정된 LSD의 하중계수와 \(\phi_{fl}=0.90,\ \phi_{cp}=0.75\)에 의하여 확보되는 부재별 요구공칭강도의 신뢰도지수를 계산하여 Fig. 4의 붉은색 실선으로 표시하였다. 부재저항계수에 맞추어 LSD의 하중계수를 목표신뢰도지수를 잘 근사할 수 있도록 조정하였기 때문에 Fig. 4의 붉은색실선이 목표신뢰도지수를 전체적으로 균일하게 만족하고 있는 것을 볼 수 있다.

Fig. 4. Reliability Indices of Nominal Member Strength by Adjusted Load-Material/Resistance Factors of LSD

3.2 재료계수 최적화기법

이 연구에서는 전체 강도철근비 영역에서 최적의 재료계수를 구하기 위하여 다음과 같은 최적화 과정을 도입한다.

\(\begin{aligned} \underset{\boldsymbol{\theta _{s}}, \mathbf{\theta_{c} }}{\operatorname{Min}} \Pi=\frac{1}{2} \int_{\widetilde{\rho}_{n}^{l}}^{\widetilde{\rho}^{u}}\left(\phi_{f l}-\Psi_{f l}\left(\theta_{s}, \theta_{c}, \widetilde{\rho}_{f l}\right)\right)^{2} d \widetilde{\rho}_{f l}\\ +\frac{1}{2} \int_{\widetilde{\rho}_{c p}^{\prime}}^{\widetilde{\rho}_{c p}^{u}}\left(\phi_{c p}-\Psi_{c p}\left(\theta_{s}, \theta_{c}, \widetilde{\rho}_{c p}\right)\right)^{2} d \widetilde{\rho}_{c p} \end{aligned}\)       (10)

강도철근비의 상한과 하한은 각각 \(\tilde{\rho}_{fl}^u=\tilde{\rho}_{cp}^u=0.35,\ \tilde{\rho}_{fl}^l=\tilde{\rho}_{cp}^l=0.02\)이다. 휨 과 압축부재의 등가저항계수는 한계상태설계법을 기반으로 Eq. (2)를 이용하여 계산한다.

위의 최적화 문제로부터 휨 및 압축부재의 저항계수를 동시에 만족하게 하는 재료계수를 계산할 수 있다. Eq. (10)의 일차 필요조건(first-order necessary condition)은 목적함수의 변분식을 통하여 다음과 같이 유도된다.

\(\begin{aligned} \delta_{\mathbf{x}} \Pi=&-\int_{\widetilde{\rho}_{n}^{\prime}}^{\widetilde{\rho}_{n}^{u}} \delta_{\mathbf{x}} \Psi_{f l}^{T} \cdot\left(\phi_{f l}-\Psi_{f l}\right) d \widetilde{\rho}_{f l} \\ &-\int_{\widetilde{\rho}_{c p}^{l}}^{\tilde{\rho}_{c p}^{u}} \delta_{\mathbf{x}} \Psi_{c p}^{T} \cdot\left(\phi_{c p}-\Psi_{c p}\right) d \widetilde{\rho}_{c p}=0 \end{aligned}\)       (11)

여기서, x=(θ_s, θ_c)^T이다. Eq. (11)의 적분에는 10점 가우스 적분을 적용하였다. 휨 부재의 등가저항계수가 재료계수에 대해 비선형 함수이므로 반복계산법을 적용하여 재료계수를 계산할 수 있다.

이 연구에서는 AASHTO 교량설계기준의 저항계수인 \( \phi_{fl}=0.90\)와 \( \phi_{cp}=0.75\)에 대하여 전술한 최적화 방법으로 강도철근비 영역에서 최적의 재료계수를 계산하였으며, 그 결과 \(\theta_s=0.93\)과 \(\theta_c=0.72\)로 계산되었다. 계산된 재료계수와 강도철근비에 따른 등가저항계수를 계산하였으며 Table 1에 정리하여 제시하였다. 제안된 방법으로 결정된 재료계수의 타당성을 검증하기 위하여 목표신뢰도지수 3.72를 확보하도록 설정된 하중계수와 부재저항계수, 등가저항계수에 의하여 결정된 요구공칭강도의 신뢰도지수를 계산하였다. 신뢰도지수 계산시 확률변수의 통계특성은 Table 3의 값을 사용하였다. Fig. 4에는 Table 2의 조정된 LSD의 하중계수와 등가저항계수에 의하여 확보되는 부재별 요구공칭강도의 신뢰도지수가 강도철근비에 따라 검은색 선으로 도시 되어있다. 제안된 최적화 기법을 이용하여 계산된 재료계수에 의하여 확보되는 신뢰도지수는 Fig. 3의 신뢰도지수와 비교하여 그 변동 폭이 약20 % 정도 감소되었다. 이는 목표신뢰도지수를 만족하도록 하중-저항계수의 캘리브레이션을 동시에 수행한 후, 계산된 부재저항계수를 가장 잘 근사 하는 재료계수를 계산하였기 때문이다.

Fig. 5에는 Lee et al.(2018b)의 하중계수(Table 2)와 재료계수 \(\theta_s=0.93\)및 \(\theta_c=0.72\)에 상응하는 등가저항계수가 확보하는 부재별 요구공칭강도의 신뢰도지수를 도시하였으며, 비교를 위하여 Lee et al.(2018b)의 하중-저항계수에 의해 확보되는 신뢰도지수를 함께 나타내었다. 그림의 신뢰도지수 변화로부터 Lee et al.(2018b)의 하중계수와 최적화 방법으로 계산한 재료계수의 조합이 목표신뢰도수준을 가장 균일하게 확보하고 있음을 확인할 수 있다. 이는 Lee et al.(2018b)의 하중계수가 주어진 고정하중비 구간에서 부재저항계수와 함께 목표신뢰도수준을 가장 균일하게 확보하도록 설정되었기 때문이다. 전술한 결과로부터 최적화 기법에 의하여 재료계수를 결정하려면 반드시 목표신뢰도지수를 잘 만족시키도록 하중-저항계수를 먼저 결정한 후 최적화 과정을 통하여 재료계수를 결정하여야 하며, 반드시 최적화에 의해서 결정된 하중계수와 함께 하중-재료계수 조합이 구성되어야 목표신뢰도지수를 가장 잘 근사하게 되는 것을 알 수 있다.

Fig. 5. Reliability Indices of Nominal Member Strength by Load-Material/Resistance Factors Presented by Lee et al.

이 연구에서 제안한 최적화 방법은 단순히 Kim and Lee(2000)이 사용한 방법의 문제점을 해결하기 위하여 제안된 방법이기 때문에 최적화를 적용한 재료계수 결정법의 원천적인 문제점을 해결하지는 못한다. 즉, 어떤 최적화 방법으로 재료계수를 결정하더라도 재료계수는 단순히 부재저항계수를 근사하도록 결정되기 때문에 재료 자체의 통계적 불확실성을 독립적으로 고려하지 않고 있어 재료계수를 도입하는 원래의 공학적 의미가 결여된 것으로 판단된다.

4. 신뢰도기반 재료계수 산정법

유로코드에서는 콘크리트 부재에 대하여 신뢰도 개념에 기반한 재료계수를 도입하고 있으며, 재료저항과 재료강도가 다음과 같은 관계를 가지고 있다고 가정하고 있다.

\(S_k=M_kG_kX_k,k=sc\)       (12)

위 식에서 \(S_k\), \(M_k\), \(G_k\)그리고 \(X_k\)는 각각 재료 k의 재료저항, 모델 오차, 기하학적 오차 그리고 재료강도를 의미하며, 유로코드에서 적용한 통계값은 유로코드2의 해설서(ECP, 2008)의 자료에서 발췌하였으며 Table 4에 주어져 있다. 재료저항은 각 재료가 외력에 저항하는 전체적인 저항능력을 의미하고 재료강도는 재료 자체의 강도를 지칭한다. 재료저항의 편심계수와 변동계수는 일반적으로 사용되는 근사식에 의하여 계산한다.

\(\lambda_{S_k}=\lambda_{M_k}\lambda_{G_k}\lambda_{X_k},\ \sqrt{\delta_{M_k}^2+\delta_{G_k}^2+\delta_{X_k}^2},k=s,c\)       (13)

여기서, \(\lambda_X\)와 \(\delta_X\)는 확률변수 X의 편심계수와 변동계수이다.

Table 4. Statistical Parameters for Material Resistances of Rebar and Concrete (ECP, 2008)

신뢰도해석에서 정의되는 파괴점과 저항계수의 일반적 정의를 사용하여 다음과 같은 재료계수를 유도할 수 있다.

\(\theta_k=exp(n_{S_k}\beta_T\delta_{S_k}-u_{X_k}\delta_{X_k}),k=s,c\)       (14)

여기서, \(n_{S_k}\)는 파괴점에서 한계상태식의 단위법선벡터의 \(S_k\)방향으로의 성분이며, \(\beta_T\)와 \(u_{X_k}\)는 각각 목표신뢰도지수와 공칭재료강도의 확률분포 상에서 분위계수이다. 분위계수는 주어진 비초과확률에 대응하는 확률변수값과 평균간의 거리를 표준편차에 대하여 표시하는 계수이다. 대수정규분포에서 편심계수와 분위계수간의 근사적 관계는 다음과 같다.

\(u_{X_k}=\frac{1}{2}\delta_{X_k}-\frac{1}{\delta_{X_k}}\ln\lambda_{X_k}\)       (15)

유로코드에서는 공칭값을 특성값(characteristic value) 이라고 지칭하며, 재료강도의 특성값은 대수정규분포에서 비초과확률 5 % 에 해당하는 값을 사용하고 있다. 이 값은 분위계수 -1.64에 해당하고, 편심계수로는 철근과 콘크리트에 대해 각각 1.07, 1.29에 해당한다. Eq. (14)에서 사용된 단위법선벡터의 \(S_k\)방향 성분은 한계상태식에 포함되어 있는 하중효과와 재료저항의 분산에 의하여 정의된다.

\(n_{S_k}=\frac{\sigma_{S_k}^{eq}}{\sqrt{(\sigma_{S_k}^{eq})^2+\sum_i(\sigma_{Q_i}^{eq})^2}},k=s,c\)       (16)

재료저항의 분산이 커지면 Eq. (16)의 절대값이 커지게 되고, 따라서 Eq. (14)에서 주어진 재료계수는 감소한다. 즉, 재료의 불확실성이 커질수록 재료계수는 작아 지게 된다.

유로코드에서는 Eq. (14)에서 정의된 재료계수를 계산하기 위하여 단위법선벡터의 성분을 -0.8로 가정하고, 목표신뢰도지수 3.8을 적용하고 있으며, 이 경우 철근과 콘크리트의 재료계수는 각각 0.87 그리고 0.77로 계산된다. 콘크리트의 경우에는 공시체 강도와 실제 부재에서의 강도 차이에 의한 변동성을 고려하기 위하여 Eq. (14)에 의하여 계산된 값에 1.15를 나눈 값인 0.67을 콘크리트의 재료계수로 정의하고 있다. 1.15가 전술한 이유로 도입하는 계수라면, 그러한 불확실성을 나타내기 위한 독립적인 확률변수를 Eq. (12)에 도입하는 것이 정당한 접근법이라고 판단된다. 이 연구에서는 계수 1.15의 근거가 불명확하므로 고려하지 않는다.

유로코드에서 재료계수는 신뢰도해석에서 유도되는 저항계수의 정의를 충실히 따르고 있어 재료 강도의 변동성을 잘 반영하는 것으로 보이지만, 파괴점에서의 단위법선벡터의 재료저항 방향 성분을 철근과 콘크리트에서 모두 -0.8로 가정한 것을 문제점으로 지적할 수 있다. 또한, 구조부재 혹은 재료의 신뢰도지수는 저항과 하중의 상대적 통계특성에 의하여 결정되는데, 하중의 통계특성에 대한 고려 없이 재료계수만 독립적으로 계산하여 신뢰도기반 설계법의 기본 원칙을 위배한 것으로 판단된다.

KHBDC(2016)에서 정의하고 있는 목표신뢰도지수 3.72와 Table 4에 있는 재료의 통계값을 적용하고 역신뢰도해석으로 계산된 철근과 콘크리트의 파괴점에서의 단위법선벡터 성분을 하중비에 따라 Fig. 6에 보이고 있다. 그림에서 보인 바와 같이 콘크리트의 파괴점에서 단위법선벡터 성분의 절대값이 철근에 비하여 훨씬크게 계산되고 있고 그 차이도 상당히 커서 두 재료의 단위법선벡터 성분을 모두 -0.8로 가정하는 것은 비합리적인 것으로 판단된다. 이 연구에서 적용하고 있는 하중비 구간에서 단위법선벡터의 재료저항방향 성분의 평균은 철근과 콘크리트에 대하여 각각 -0.67와 -0.9로 계산되고 이 값에 상응하는 재료계수는 각각 0.90 과 0.73 정도로 평가된다. 이 계산 결과는 Table 5에 정리하여 제시하였다.

Table 5. Averaged Components of Unit Normal Vector in Direction of Resistances of Rebar and Concrete and Corresponding Material Factors

Fig. 6. Variations of Components of Unit Normal Vectors at Most Probable Failure Points with DC Ratio in Direction of Resistances for Rebar and Concrete

신뢰도기반 설계기준에서 사용하는 재료(저항)계수는 동일한 하중효과에 대해 주어진 목표신뢰도지수를 만족시키기 위하여 서로 다른 불확실성을 가지는 재료(부재)가 확보해야 하는 상대적 안전율을 정의하는 것이기 때문에 동일한 하중효과에 대하여 각각의 재료 또는 부재가 목표신뢰도지수를 만족시켜야 한다. 각 재료에 대한 하중-재료계수에 의하여 계산되는 표준화된 공칭재료저항은 다음과 같은 식으로 계산할 수 있다.

\(\bar{S}_0^k(\xi,\eta)=\frac{1}{\theta_k}\sum_i\gamma _i(\bar{Q}_i)_0,k=s,c\)       (17)

Eq. (17)에 의하여 계산된 공칭재료저항이 목표신뢰도지수에 대한 역신뢰도해석에 의하여 계산되는 목표재료저항과 모든 하중비에서 항상 같다면 공칭재료저항은 항상 목표신뢰도지수를 정확히 만족할 수 있다. \(\eta=0.8\)에서 역신뢰도해석을 통하여 계산한 표준화된 목표재료저항(\(\bar{S}_T\))를 Fig. 7에 실선으로 도시하였다. 그림에서 보인 바와 같이 고정하중비에 따라 목표재료저항은 비선형적으로 변하는 반면, 일반적으로 상수 값으로 주어진 하중-재료계수에 의해 계산되는 공칭재료저항은 고정하중비에 대해 선형으로 변하기때문에 재료계수를 하중비에 무관하게 고정된 값으로 사용할 경우 목표재료저항과 동일한 공칭재료저항을 계산할 수 없다. 따라서 주어진 재료계수에 의하여 계산된 공칭재료저항이 역신뢰도해석에서 결정된 목표재료저항을 가장 잘 근사할 수 있도록 하중계수를 결정하여야 하고, 이를 위한 최적화문제를 다음과 같이 정의할 수 있다.

\(\underset{\gamma}{\operatorname{Min}} \Pi=\frac{1}{2} \sum_{k} \int_{0.63}^{1.0} \int_{0.6}^{1.0}\left(\frac{1}{\theta_{k}} \sum_{i} \gamma_{i}\left(\bar{Q}_{i}\right)_{0}-\bar{S}_{r}^{k}\right)^{2} d \eta d \xi,\)

k=s, c       (18)

위 최적화 문제에서 재료계수는 Table 5에 주어진 값으로 전 적분영역에서 고정된 값이다. Eq. (18)은 간단한 2차식문제(Quadratic problem)이므로 최적화를 위한 1차 필요조건은 하중계수에 대한 선형방정식으로 표시되어 쉽게 하중계수를 구할 수 있다.

Fig. 7. Normalized Target and Nominal Material Resistances for Rebar and Concrete

최적화문제 Eq. (18)을 풀어 계산한 각 하중계수와 Lee et al.(2018b)에 의하여 제안된 하중계수를 Table 6에 정리하여 제시하였다. Fig. 7에는 \(\eta=0.8\)에서 제안된 재료계수(Table 5)와 Eq. (18)의 최적화 결과로부터 제안된 하중계수에 의한 공칭재료저항이 점선으로 표시되어 있다. 그림에서 보이는 바와 같이 목표재료저항에 비하여 공칭재료저항이 철근에서는 약간 작게, 그리고 콘크리트에서는 약간 크게 평가되었었다. Fig. 8에는 제안된 하중-재료계수에 의하여 계산된 공칭재료저항의 신뢰도지수를 보이고 있으며, 콘크리트의 신뢰도는 목표신뢰도지수 보다 약간 크고 철근에서는 이와 반대의 현상이 나타난다. 재료계수를 계산할 때 목표신뢰도지수를 정확히 고려했음에도 불구하고 이러한 현상이 발생하는 이유는 Eq. (14)에서 재료의 변동성만 고려하고 하중효과의 변동성은 고려하지 않은 결과일 것으로 판단된다.

Table 6. Load Factors by Present Study (Reliability-Based) and Lee et al

Fig. 8. Reliability Indices of Nominal Material Resistance by Load- Material Factors Based on Proposed Reliability-Based Approachfor Rebar and Concrete

Table 5에서 제시하고 있는 재료계수에 상응하는 등가저항계수는 Fig. 1에 표시되어 있고, 대표적인 강도철근비에 대한 등가저항계수를 Table 1의 신뢰도기반 항목에 정리하여 제시하였다. 신뢰도기반 재료계수의 등가저항계수와 Table 6의 계산된 하중계수에 의한 요구공칭강도가 확보하는 신뢰도지수는 Fig. 9에서 보인 것과 같이 목표신뢰도지수 보다 상당히 낮게 평가되고 있다. 신뢰도 계산을 위한 부재강도의 통계값은 Table 3에 주어진 값을 적용하였다.

Fig. 9. Reliability Indices of Nominal Member Strength by Load- Material Factors Based on Proposed Reliability-Based Approach

휨 부재의 파괴는 철근의 파괴가 지배하기 때문에, Fig. 8에서 보이고 있는 철근의 신뢰도지수와 Fig. 9(a)에서 보이고 있는 휨 부재의 신뢰도를 비교할 수 있다. 휨 부재의 변동계수가 0.13으로 철근에 비하여 훨씬 크지만, 휨 부재의 편심계수가 철근에 비하여 약15 % 정도 크기 때문에 철근과 휨 부재의 신뢰도지수는 거의 비슷한 수준으로 계산되었다. 압축부재의 파괴는 콘크리트의 파괴가 지배하기 때문에 압축부재의 신뢰도(Fig. 9(b))와 콘크리트 재료의 신뢰도(Fig. 8)를 비교할 수 있다. 압축부재 강도의 편심계수는 콘크리트 재료에 비하여 약5 % 정도 작고 변동계수는 10 % 정도 크기 때문에 압축부재의 신뢰도지수는 콘크리트 재료의 신뢰도지수 보다 작게 평가되고, 이에 더하여 콘크리트의 재료계수에 비하여 압축부재의 저항계수가 크기 때문에 압축부재의 신뢰도지수를 더욱감소시켜 휨 부재와 압축부재의 신뢰도수준은 결국 비슷하게 평가되고 있다.

유로코드에서 제시된 방법에 의하여 결정된 재료계수에서는 단일 재료의 불확실성만을 고려하게 되며 부재단위의 불확실성을 명시적으로 포함하지 않게 된다. 만일 유로코드에서 언급하고 있는 모델오차와 기하학적 오차가 부재단위의 불확실성을 포함한 것이라고 하여도, 복합 재료로 구성된 부재의 거동은 반영하지 못하게 되는 문제가 있다. 두 재료가 결합하여 하나의 부재로서 작용하는 경우에는 재료강도 외에 콘크리트 및 철근의 응력상태, 부재 변형상태, 베르누이 들보의 평면 가정, 철근과 콘크리트의 부착 상태 등의 다양한 요인이 복합적으로 부재강도의 불확실성에 기여하게 된다. 하지만 유로코드를 기반으로 재료계수를 결정하는 경우에는 전술한 다양한 요인에 의한 불확실성을 재료 단위로 나누어 고려하게 되는 것으로 복합적 거동을 정확히 고려하지 못하기 때문에 비합리적이다. Table 3에서 보인 휨 및 압축부재강도의 불확실성과 각 부재의 파괴를 지배하는 재료의 불확실성(Table 4)의 차이가 결국 재료 불확실성을 제외한 부재로서의 불확실성을 나타내고 있는 것이고, 이러한 복합 재료에 의한 부재의 불확실성이 재료계수에서 적절히 반영되지 않았기 때문에 부재단위의 신뢰도지수가 목표신뢰도지수 보다 낮게 평가되는 요인일 것이다.

재료저항과 부재강도 사이의 정확하고 합리적인 통계적 관계를 설정하기 위하여는 많은 시간과 노력이 필요하겠지만, 확실한 것은 부재강도의 불확실성이 재료저항의 불확실성 보다는 클 것이고 따라서 재료계수에 의하여 결정된 요구공칭강도는 실제 필요한 부재강도보다 작게 계산될 수 밖에 없다는 사실이다. 따라서 재료저항 및 부재강도의 불확실성을 동시에 고려할 수 있는 재료계수 개념이 도입되어야 할 것이고, 이런 개념이 도입되기 전까지는 콘크리트 부재설계에서 부재저항계수를 적용하는 것이 신뢰도 관점에서는 보다 바람직할 것이다. 국내 설계기준에 적용되고 있는 재료계수는 유로코드 개념과는 완전히 다르고 부재저항계수에 의하여 결정되기 때문에 유로코드에 대하여 지적한 문제점은 발생하지 않을 것이다.

5. 요약 및 결론

이 연구에서는 현재 국내 한계상태설계기준에서 콘크리트부재 설계에 사용되고 있는 재료계수를 결정하기 위하여 사용된 최적화 기법의 문제점을 지적하고 보다 합리적인 최적화 기법을 제시하였다. 또한 현재의 재료계수와 제안된 최적화 기법에 의한 재료계수가 확보하는 신뢰도를 휨 및 압축부재에 대하여 계산하여 제시하였다. 또한 유로코드에서 사용하고 있는 신뢰도기반 접근법을 적용하여 재료계수를 계산하였으며, 최적화 기법을 통하여 제안된 재료계수상응하는 하중계수를 결정하고 신뢰도 분석을 수행하였다.

현재 국내설계기준에서 사용되고 있는 재료계수는 신뢰도 개념이 도입되지 않은 강도설계법에서 사용되던 부재저항계수를 가장 잘 근사 하는 재료계수를 최적화를 통하여 계산한 것이기 때문에 신뢰도 개념이 도입되어 있지 않다. 또한 강도설계법과 한계상태설계법에서 사용하는 하중계수의 차이를 고려하지 않았기 때문에 한계상태설계법의 하중계수와 함께 목표신뢰도수준을 확보할 수 있는 재료계수를 결정하기 위한 전문가들 간의 논의가 필요할 것이다. 최적화 기법을 통하여 재료계수를 결정하기 위하여는 목표신뢰도지수를 잘 만족시키도록 결정된 부재저항계수를 적용하여야 하며, 반드시 원래의 부재저항계수에 대응하는 하중계수와 함께 사용하여야 한다. 재료계수는 재료의 불확실성 독립적으로 고려하여 보다 합리적인 설계를 유도하기 위하여 도입된 것으로 알려져 있으나, 최적화 기법에 기반한 재료계수 결정 과정에서는 재료의 불확실성을 독립적으로 적용할 수 없는 단점이 있다. 현재 국내에서 사용되고 있는 재료계수는 부재저항계수의 함수이고, 휨 및 압축부재의 저항계수를 철근과 콘크리트에 대한 재료계수로 표현한 것이므로 재료계수라기 보다는 다른 형식으로 표현된 부재저항계수로 이해하는 것이 타당할 것이다.

유로코드의 경우 재료의 불확실성을 독립적으로 고려하고 있으나, 파괴점에서의 단위법선 벡터 성분을 철근과 콘크리트에서 동일하게 적용하고 있으며, 콘크리트재료계수에는 추가의 안전율을 도입하고 있어서 신뢰도 개념을 충실히 반영하고 있지 않은 것으로 판단된다. 더하여, 유로코드 역시 하중계수를 고려하지 않은 상태에서 재료계수만 독립적으로 정의하는 문제점이 있다. 부재의 공칭 강도의 측면에서의 문제점은 재료강도를 제외한 부재의 불확실성을 고려하지 않았기 때문에 재료계수를 적용하여 계산된 공칭부재강도가 확보하는 신뢰도는 목표신뢰도지수보다 낮게 평가될 수 밖에 없다는 점이다.

재료계수에 의한 콘크리트 부재의 설계가 보다 발전된 개념일 수는 있으나, 신뢰도 관점에서는 아직 논리적으로 그리고 수학적으로 보완해야 할 부분이 있는 것으로 판단되며, 추후 콘크리트 전문가들에 의한 집중적인 연구가 필요할 것이다. 이 연구에서는 콘크리트 부재만 고려하여 재료계수를 계산하였으나, 실제 설계기준에서는 콘크리트 부재뿐만 아니라 다양한 부재에 대한 저항계수와 하중계수가 동시에 정의되어야 하므로 설계기준에 포함되어 있는 모든 부재에서 적절한 신뢰도를 확보할 수 있도록 하중-저항(재료)계수에 대한 추가의 연구가 반드시 필요할 것으로 생각된다.

감사의 글

이 연구는 국토교통부 건설기술연구사업(No. 18SCIP-B119960-03)에 의하여 수행되었습니다. 연구 지원에 감사드립니다.