Modal Transmission-Line Theory for Optical Diffraction of Periodic Circular 2D-Grating

주기적인 원형 2D-격자의 회절에 대한 모드 전송선로 이론

Abstract

The diffraction properties of optical signals by multi-layered periodic structures is formulated in two-dimensional space by using Fourier expansions associated with basic grating profile. The fields in each layer are then expressed in terms of characteristic modes, and the complete solution is found rigorously by using a modal transmission-line theory(MTLT) to address the pertinent boundary-value problems. Such an approach can treat periodic arbitrary gratings containing arbitrarily shaped dielectric components, which may generally have optical properties along directions that are parallel or perpendicular to the multi-layers. This paper illustrates the present approach by comparing our numerical results with data reported in the past for simple periodic circular 2D structures. In addition, this proposed theory can apply easily for more complex configurations, which include multiple periodic regions with several possible canonic shapes and high dielectric constants.

다층 주기 구조에 의한 광 신호의 회절 특성은 기본 격자구조와 연계된 Fourier 확장을 사용하여 2D 공간에서 공식화 된다. 그때 각 층에서의 필드들은 특성 모드에 의하여 표현되며, 완전한 해는 적절한 경계 값 문제에 의존하는 모드 전송선로이론(MTLT)을 사용하여 정확하게 얻을 수 있다. 이러한 해석법은 일반적으로 다층 구조에 평행 또는 수직 방향에 따라 광학 특성을 갖는 임의의 형태의 유전체 성분을 포함하는 모든 주기적 격자들을 처리할 수 있다. 본 논문은 간단한 주기적인 원형 2D-구조에 대하여 과거에 보고된 데이터와 비교하여 현 해석법을 설명하였다. 또한 제시한 해석법은 가능한 표준 형태와 높은 유전율을 가지는 복수의 주기적인 영역을 포함하는 매우 복잡한 구조들에 대하여 쉽게 적용할 수 있다.

Ⅰ. 서론

다층 주기 구조에 의한 광신호의 회절은 광전자 장치, 포토닉 band-gap crystal, 안테나 및 기타 광산업에서 이용이 증가하는 격자형 구조에 편승하여 매우 활발히 지속적으로 연구되어 오는 주제이다. 이와 관련하여, 격자또는 교차 표면 안정 격자를 분석하기 위한 해석법은 20년 전에 이미 시작되었고^[1,2], 그 후에 3차원 (3D) 입체 구조에 형성된 2D 격자에 대한 연구가 미분, 결합 파, modal 표현법과 같은 다양한 회절 공식으로 발전되어 왔다^[3,4]. 그러나 2D 격자 구조의 효율적인 수치 해석적 모델링은 아직도 도전적인 문제로 남아 있었다. 왜냐하면 새로운 대안적인 공식화가 더 큰 물리적 통찰력을 제공하거나 수치 해석적 이점을 제공 할 수 있다고 생각하기 때문이다. 이러한 가능성을 염두에 두고, 본 논문에서는 각 격자 층에서 격자(공간) 벡터와 역 격자 (파수) 벡터의 Fourier 확장(expansion)에 의존하는 modal 해석법을 제시한다. 또한 이 해석법에 2D 주기 구조를 구성하는 각 층들의 경계면에서 발생하는 경계치 문제에 적용 가능한 전송 선로 공식을 사용하여 다양한 형태의 회절 특성을 체계적으로 응용할 수 있도록 하였다.

본 논문에서 적용한 구성은 수직인 z-축에 따라 유전체 층들이 쌓여 있는 형태이다. 또한 그림 1에 도시한 바와 같이 하나의 층은 수평 xy-평면의 두 방향을 따라 주기적인 형태를 가진 원형 격자로 구성되어 있다. 그러므로 각 층은 일반적으로 대각선 유전율 tensor로 표현되어지며, 그림에서 보듯이 단위 셀(unit cell)에서 발생하는 유전율 변화를 분석하면 2D 원형 격자구조의 회절특성의 변화를 알 수 있다. 유전율 tensor에 의존하는 각 주기층의 격자 내부의 특성 모드를 얻은 후, 등가 전송 선로 개념을 사용하면 임의의 유전율을 갖는 층들을 포함하는 격자 구조에 대한 MTLT 해석법을 완벽하게 구축하게 된다.

그림 1. 내부 층 위에 형성된 주기적인 원형 2D-격자의 구성도.

Fig. 1. Schematic diagram of periodic circular2D-grating mounted on sub-layer.

본 논문에서 제시한 Fourier 확장의 고유치 문제에 의존하는 MTLT는 선형(일차원) 주기성을 포함한 격자구조에서 매우 효과적인 것으로 발표되었고, 이방성 매체를 포함한 2D 직사각형 격자구조에도 잘 적용됨을 보여왔다^[5,6]. 이 해석법을 원형 2D 격자구조의 회절 특성에 적용하기 위하여 2장에서 Maxwell 방정식과 고유치 문제에 기초한 MTLT의 특성임피던스를 설명하였다. 유전율 tensor의 차수에 기인한 특성 admittance 행렬은 MTLT 원리의 뼈대가 되는 핵심 요소이며, 이를 적용하여 회절특성을 쉽고 빠르게 수치해석 할 수 있다. 3장에서는 제안한 MTLT의 타당성을 보이기 위하여 앞서 발표된 논문들의 결과들과 비교 분석하였다.

Ⅱ. Eigenvalue Problem에 의존하는MTLT의 특성 admittance

주기적인 2D 패턴의 원형 격자 구조로 구성된 구조의 모드 특성을 분석하기 위하여 격자 패턴에 대한 Fourier 확장 특성을 정의해야 한다. 그림 1에서 보듯이, 굴절률 n_g인 원형 유전체와 n_air인 공기층으로 구성된 격자 구조의 굴절률은 아래와 같이 Fourier 급수로 나타낼 수 있다.

\(\varepsilon_{r}(x, y)=\sum_{u} \sum_{v} \varepsilon_{u, v} e^{i\left(\frac{2 u \pi}{d_{x}} x+\frac{2 v \pi}{d_{y}} y\right)}\)       (1)

여기서, Fourier 계수 ε_u,v는 다음과 같이 유도할 수 있다.

\(\begin{aligned} \varepsilon_{u, v} &=\frac{1}{d_{x} d_{y}} \int_{0}^{r} \int_{-\pi}^{\pi} \Delta \varepsilon e^{-i(\rho r \cos \theta)} r d \theta d r \\ &=\Delta \varepsilon \frac{r}{\rho d_{x} d_{y}} J_{1}(2 \pi \rho r) \end{aligned}\)       (2)

위의 식에서 \(\Delta \epsilon=n_{g}^{2}-n_{a i r}^{2}\), 이고 0-번째 Fourier 계수 ∊₀는

\(\begin{aligned} \varepsilon_{0} &=\varepsilon_{g 1}+\frac{1}{d_{x} d_{y}} \int_{0}^{R} \int_{-\pi}^{\pi} \Delta \varepsilon r d \theta d r \\ &=\varepsilon_{g 1}+\Delta \varepsilon \frac{\pi r^{2}}{d_{x} d_{y}} \end{aligned}\)       (3)

와 같고, \(\rho=\sqrt{\left(u / d_{x}\right)^{2}+\left(v / d_{y}\right)^{2}}\)와 같이 정의된다. 식 (1)에 정의되고 그림 2에 도시된 원형 2D 패턴의 격자구조에 대한 유전율 tensor를 사용하여 MTLT의 고유치 문제 (eigenvalue problem)로부터 z-축을 따라 전파하는모드들의 전파상수를 결정할 수 있으며, 그로부터 회절특성을 분석할 수 있다.

그림 2. 주기적인 원형 2D 격자구조의 Fourier expansion.

Fig. 2. Fourier expansion of 2D grating structurewith circular pattern.

주축에 대하여 대각선 tensor로 표현되는 주기적인 유전체 매질의 시 변환 전자파에 대한 맥스웰 방정식은 다음의 형식을 취한다.

\(\begin{array}{l} \frac{\partial}{\partial z}\left(\begin{array}{l} E_{x} \\ E_{y} \end{array}\right)= \\ \left.\left[\begin{array}{cc} -\frac{1}{\omega \varepsilon_{0} \varepsilon_{r}} \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial}{\partial y} & \omega \mu_{0}+\frac{1}{\omega \varepsilon_{0} \varepsilon_{r}} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \\ -\omega \mu_{0}-\frac{1}{\omega \varepsilon_{0} \varepsilon_{r}} \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} & \frac{1}{\omega \varepsilon_{0} \varepsilon_{r}} \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial}{\partial y} \end{array}\right] \begin{array}{l} H_{x} \\ H_{y} \end{array}\right) \\ \frac{\partial}{\partial z}\left(\begin{array}{c} H_{x} \\ H_{y} \end{array}\right)= \\ \left.\left[\begin{array}{cc} \frac{1}{\omega \mu_{0}} \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial}{\partial y} & -\omega \varepsilon_{0} \varepsilon_{r}-\frac{1}{\omega \mu_{0}} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \\ \omega \varepsilon_{0} \varepsilon_{r}+\frac{1}{\omega \mu_{0}} \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} & -\frac{1}{\omega \mu_{0}} \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial}{\partial y} \end{array}\right] \begin{array}{l} \left(E_{x}\right. \\ E_{y} \end{array}\right) \end{array}\)       (4)

그때 주기적인 구조에서 발생하는 일반적인 전계와 자계는 ± z-방향으로 진행하는 공간 고조파로 구성된 진폭행렬 f,g를 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있다^[7].

\(\begin{array}{l} {\left[\begin{array}{c} \mathbf{E}_{x} \\ \mathbf{E}_{y} \end{array}\right]=\sum_{\mathbf{K}} e^{i\left(\mathbf{K}_{x} x+\mathbf{K}_{y} y\right)}\left(e^{\mathbb{K}_{z}} \mathbf{f}+e^{\mathbb{K}_{z}(t-z)} \mathbf{g}\right),} \\ {\left[\begin{array}{c} \mathbf{H}_{y} \\ -\mathbf{H}_{x} \end{array}\right]=\sum_{\mathbf{K}} e^{i\left(\mathbf{K}_{x} x+\mathbf{K}_{y} y\right)} \mathbf{Y}_{\mathbf{K}}\left(e^{i \boldsymbol{K}_{z}} \mathbf{f}-e^{\mathbb{K}_{z}(t-z)} \mathbf{g}\right)} \end{array}\)        (5)

따라서 식 (5)를 식 (4) 대입하면

\(\mathbf{K}_{z}^{2}=k_{0}^{2} \varepsilon_{r}-\left(\mathbf{K}_{x}^{2}+\mathbf{K}_{y}^{2}\right)\)       (6)

와 같은 고유치 문제를 얻을 수 있다. 그때 주기적인 원형 2D-격자구조에서 ε_r은 식 (1)에 의하여 주어진 BlockToeplitz 행렬로 구성되며, 고유치인 K_z는 대각선 행렬로 표현된다. 그리고 횡방향 전파상수인 K_x, K_y는

\(\begin{array}{l} k_{x}(m)=k_{0} n_{a i r} \sin \theta_{c} \cos \phi_{c}+\frac{2 \pi m}{d_{x}} \\ k_{y}(n)=k_{0} n_{a i r} \sin \theta_{c} \sin \phi_{c}+\frac{2 \pi n}{d_{y}} \end{array}\)        (7)

에 의존하는 대각선 행렬로 주어진다. 여기서 d_x, d_y는그림 1에서 보듯이 주기적인 격자의 x, y-축 주기이다.

결국 식 (5)를 사용하여 고유치 문제를 해결하는 과정에서 정의되는 일반적인 유전체에서의 특성 admittance행렬은 다음과 같이 주어진다.

\(\mathbf{Y}_{\mathbf{K}}=\frac{1}{\omega \mu_{0}}\left[\begin{array}{cc} \frac{-\mathbf{K}_{x} \mathbf{K}_{y}}{\mathbf{K}_{z}} & \frac{\left(\mathbf{K}_{x}^{2}-k_{0}^{2} \mathbf{E}\right)}{\mathbf{K}_{z}} \\ \frac{\left(k_{0}^{2} \mathbf{E}-\hat{\mathbf{K}}_{y}^{2}\right)}{\mathbf{K}_{z}} & \frac{\hat{\mathbf{K}}_{y} \hat{\mathbf{K}}_{x}}{\mathbf{K}_{z}} \end{array}\right]\)       (8)

만일 x-축에 대한 입사각 Φ_c=0이고 y-축에 대하여 비주기적인 uniform한 1D 격자구조인 경우(즉,k_y(n)=0인 경우) 식 (8)은 아래와 같은 형태로 간소화된다.

\(\mathbf{Y}_{\mathbf{K}}=\left[\begin{array}{cc} \mathbf{0} & \frac{\omega \varepsilon_{0} \mathbf{E}}{\mathbf{K}_{z}} \\ \frac{\mathbf{K}_{z}}{\omega \mu_{0}} & \mathbf{0} \end{array}\right]\)       (9)

여기서 E는 식 (1)에 의하여 주어진 Block Toeplitz 행렬이다. 만일 TE 모드인 경우(즉, E_y, H_x, H_z가 존재하는 경우) 식 (9)는 Y_k=K_z/(ωu₀)와 같이 TM 모드인 경우에는 Y_K= (ω∈₀E)/K_z와 같이 간소화 된다.

III. 수치해석 및 고찰

그림 1에 도시하였듯이 입사파는 원형 2D-격자 구조에 수직(normal)(θ_c=0) 또는 원뿔(conical)(Φ_c≠ 0)형태로 입사될 수 있다. 본 논문에서는 제시한 해석법의 타당성을 조사하기 위하여 방위각(azimuthal angle) Φ_c와고도각(elevation angle) θ_c가 모두 0인 TE 모드에 대하여 분석하였다. 이를 위하여 참고문헌 [8]에서 주어진 ZCG 광대역 반사기에 대하여 수치해석 하였다.

직사각형과 원형 2D-격자 구조로 구성된 광대역 반사기의 주파수 응답특성을 나타내는 그림 3에서 보듯이, 참고문헌 [8]에서 분석한 결과와 유사하게 직사각형 격자구조는 약 352 nm에서 99% 이상의 반사도를 갖는 광대역 반사기 특성을 나타내었으며, 원형 구조인 경우에는 약 300 nm에서 99% 이상의 반사도를 보였다. 반사도 99% 이상을 갖는 대역폭이 참고문헌의 결과와 잘 일치함을 볼 수 있다. 그러나 원형 구조인 경우에 참고문헌에 비하여 대역폭이 약 5% 정도 좁고 99% 이상의 반사도 구간에서 약간의 크기 변화(fluctuation)가 있음을 보였다. 이는 본 논문에서 제시한 해석법은 식 (1)의 Block Toeplitz 행렬에 의존하는 해석적인 해법(analytic solution)인데 반하여 참고문헌은 FFT simulation에 의한 근사적인 해법에서 발생하는 현상이라 생각한다.

그림 3. 직사각형과 원형 2D-격자로 구성된 광대역 반사기 들의 반사도.

Fig. 3. (Color Online) Reflectance of broadband reflectors with rectangular and circular 2D-gratings.

또한 원형 격자의 격자 t_g두께 에 따른 반사도의 특성을 비교 분석하기 위하여 참고문헌 [9]에 주어진 광대역 유전체 메타물질(meta-material) 반사기의 특성을 분석하였다. 그림 4에서 보듯이, 참고문헌과 유사하게 t_f =78nm, 110 nm 에서 약 300 nm의 가장 넓은 대역폭 특성이 나타났다. 더욱이 내주 층(sub-layer)의 두께를 t_f = 300nm 까지 변화시키면서 발생하는 반사도를 그림 5에 도시하였다. 그림에서 보듯이, 높은 반사도를 발생시키는 대역들이 복잡하게 섞여 컬러 지도에 표현되고 있음을 알 수 있다. 그러나 참고문헌의 결과와 비교하였을 때 t_f = 78 nm에서 반사도에 대한 스펙트럼이 다소 차이가 발생하였다. 그림 4와 5에서 보듯이 본 논문에서 수치 해석한 결과는 일관성이 있음을 알 수 있으나, 참고문헌의 결과는 컬러 지도(참고문헌의 그림 2(b))와 스펙트럼(참고문헌의 그림 2(c))의 결과가 서로 다름을 알 수 있다. 이는 참고문헌의 스펙트럼 결과가 잘못 표기된 것으로 판단된다.

그림 4. 원형 2D-격자에서 내부 층이 없는(t_f =  0) 경우와 비교된 t_f=78, 110 nm 에 대한 반사도.

Fig. 4. (Color Online) Reflectance for t_g=78 and 110 nm compared with case without a sub-layer in circular 2D-grating

그림 5. 원형 2D-격자에서 내부 층의 두께 t_f의 변화에 대한 반사도.

Fig. 5. (Color Online) Reflectance as a function of sub-layer thickness t_f in circular 2D-grating.

마지막으로, 내부 층이 없는(t_f = 0) 원형 2D-격자에서 t_g의 변화에 대한 반사도를 분석하였다. 그림 6에서 보듯이, 참고문헌과 같이 특별한 격자 두께에서 광대역 반사도가 존재하는 것을 확인할 수 있다. 그림 4와 6을 참고하면 99% 이상의 반사도는 t_g = 500 nm에서 약 78 nm의 대역폭이 존재하는 것이 보였다. 참고문헌의 결과와 매우 잘 일치하는 것을 확인하였다. 본 논문에서는 이미 발표된 다른 논문들의 수치해석 결과를 더 이상 언급하지 않았지만 이미 발표된 논문들의 결과를 분석하는데 여기서 제시한 고유치 문제에 의존하는 MTLT를 적용하면 쉽고 빠르게 그 회정특성을 정화하게 분석할 수 있을 것으로 생각된다.

그림 6. 내부 층이 없는(t_f = 0) 원형 2D-격자에서 t_g의 변화에 대한 반사도.

Fig. 6. (Color Online) Reflectance as a function of t_g in circular 2D-grating without a sub-layer.

IV. 결론

본 논문에서 유전 물질로 구성된 균질 층 및 주기 층의 조합을 포함하는 원형 2D-격자 구조에 의하여 발생하는 평면파의 회절특성을 분석하기 위한 정확한 해석법을 제시하였다. 제시한 일반적인 방법은 임의의 격자구조 뿐만 아니라 단위 셀 내에서 임의의 유전율 변화를 갖는 구조에 대하여도 적용이 가능하다. 주기적인 유전 층에서 필드 성분을 얻기 위하여 미분방정식 형태의 맥스웰 방정식을 Fourier 확장을 적용하여 대수적인 형태로 변환한 후에 고유치 문제를 이용하여 원하는 필드 성분을 얻었다. 그리고 적절한 경계 조건은 마이크로파공학에서 일반적으로 사용하는 전송선로 형식을 사용하여 취급하였다.

제시한 방법에 의해 얻어진 결과는 이전의 논문에서 보고된 단순한 격자구조에 대한 데이터들과 정확하게 일치됨을 보였다. 결국, 본 논문에서 제시한 해석법은 다양한 범위의 형태를 갖는 다층 및 격자를 포함한 회절특성을 다루기 위하여 수치적 과정보다는 기본적으로 해석적인 방법을 제공하기 때문에 복잡한 2D-격자 주기 구조에 의한 회절을 연구하기 위한 강력한 도구로 제공될 수 있을 것으로 기대한다.