• 대한수학회논문집
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• 제23권3호
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• pp.349-356
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• 2008

In this paper, we generalize the Catalan number to the (n, k)-th Catalan numbers and find a combinatorial description that the (n, k)-th Catalan numbers is equal to the number of partitions of n(k-1)+2 polygon by (k+1)-gon where all vertices of all (k+1)-gons lie on the vertices of n(k-1)+2 polygon.

• 대한수학회논문집
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• 제28권4호
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• pp.827-832
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• 2013

In this paper we apply the Catalan transform to the ${\kappa}$-Fibonacci sequence finding different integer sequences, some of which are indexed in OEIS and others not. After we apply the Hankel transform to the Catalan transform of the ${\kappa}$-Fibonacci sequence and obtain an unusual property.

• East Asian mathematical journal
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• 제39권1호
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• pp.23-27
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• 2023

In this paper, we derive the some identities which are related to the multifactorial numbers and the Catalan numbers. We utilize the fundamental theorem of Riordan matrix to obtain those identities.

• 대한수학회보
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• 제56권3호
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• pp.649-658
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• 2019

In this paper, we prove some congruences involving the generalized Catalan numbers and harmonic numbers modulo $p^2$, one of which is $$\sum\limits_{k=1}^{p-1}k^2B_{p,k}B_{p,k-d}{\equiv}4(-1)^d\{{\frac{1}{3}}d(2d^2+1)(4pH_d-1)-p\({\frac{26}{9}}d^3+{\frac{4}{3}}d^2+{\frac{7}{9}}d+{\frac{1}{2}}\)\}\;(mod\;p^2)$$, where a prime number p > 3 and $1{\leq}d{\leq}p$.

• 대한수학회지
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• 제53권1호
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• pp.187-199
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• 2016

The r-ary number sequences given by $$(b^{(r)}_n)_{n{\geq}0}=\Large{\frac{1}{(r-1)n+1}}(^{rn}_n)$$ are analogs of the sequence of the Catalan numbers ${\frac{1}{n+1}}(^{2n}_n)$. Their history goes back at least to Lambert [8] in 1758 and they are of considerable interest in sequential testing. Usually, the sequences are considered separately and the generalizations can go in several directions. Here we link the various r first by introducing a new combinatorial structure related to GR trees and then algebraically as well. This GR transition generalizes to give r-ary analogs of many sequences of combinatorial interest. It also lets us find infinite numbers of combinatorially defined sequences that lie between the Catalan numbers and the Ternary numbers, or more generally, between $b^{(r)}_n$ and $b^{(r+1)}_n$.

• 대한수학회보
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• 제58권5호
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• pp.1079-1095
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• 2021

In this paper, we give new congruences with the generalized Catalan numbers and harmonic numbers modulo p². One of our results is as follows: for prime number p > 3, $${\sum\limits_{k=(p+1)/2}^{p-1}}\;k^2B_{p,k}B_{p,k-(p-1)/2}H_k{\equiv}(-1)^{(p-1)/2}\(-{\frac{521}{36}}p-{\frac{1}{p}}-{\frac{41}{12}}+pH^2_{3(p-1)/2}-10pq^2_p(2)+4\({\frac{10}{3}}p+1\)q_p(2)\)\;(mod\;p^2),$$ where q_p(2) is Fermat quotient.

• 한국산학기술학회논문지
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• 제17권12호
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• pp.226-231
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• 2016

본 논문에서는 배리어 옵션의 가격 산정을 위해 이항분포모형을 사용한다. 경로의존형 옵션인 배리어 옵션의 가격산정을 위해서는 이항트리의 말단에서 역방향으로 진행하면서 개별 노드들의 옵션 가치를 계산하여 옵션 가격을 산정하게 된다. 이항트리의 말단에서는 배리어 도달 여부를 판단하기 어려운데, 카탈란 수를 일반화하여 배리어에 도달하지 않은 경우의 수를 구하고자 한다. 일정한 범위에서 움직이는 경로의 수를 파악하기 위해 카탈란 수에 상한과 하한을 부여하는 방식으로 일반화한다. 이항분포모형에서 배리어 도달 여부는 가격 상승과 가격 하락 횟수의 차이가 일정한 범위에 있는지를 판단하여 결정한다. 상한과 하한을 부여한 일반화된 카탈란 수를 활용하여 가격 상승과 가격 하락 횟수의 차이가 일정한 범위에 있는 경우의 수를 구할 수 있으면, 이항트리 말단에서 배리어에 도달하지 않았을 확률을 계산할 수 있다. 이항트리 말단에서의 옵션 가치와 배리어에 도달하지 않았을 확률을 이용하여 만기의 옵션 기대값을 계산하고 이를 현재 시점으로 할인하여 배리어 옵션 가격을 구하게 된다. 이항분포모형을 이용한 기존의 방법은 중간 단계의 옵션 가치를 모두 계산해야 하지만, 일반화된 카탈란 수를 적용한 방법은 이항트리 말단에서의 옵션 가치만으로도 옵션 가격 산정이 가능하고 만기시점의 옵션행사 확률에 대한 분포를 얻을 수 있다. 상한과 하한을 부여하여 일반화된 카탈란 수는 배리어 옵션 가격 산정뿐만 아니라 다양한 분야에 활용할 수 있을 것으로 기대된다.

• 비교문화연구
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• 제50권
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• pp.225-259
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• 2018

Institut d'Estudis Catalans에 따르면 카탈루냐어에서 사용하는 전통적 시각 표현 체계는 기본적으로 시간을 'quart(=quarter)'로 나누는 것에 기반을 두어 '8시15분/30분/45분'은 각각 '${\acute{E}}s$ un quart de nou.', '$S{\acute{o}}n$ dos quarts de nou.', '$S{\acute{o}}n$ tres quarts de nou.'라고 표현하며 '$S{\acute{o}}n$ les vuit i quinze.', '$S{\acute{o}}n$ les vuit i trenta/mitja.', '$S{\acute{o}}n$ les vuit i quaranta-cinc.'와 같은 구조를 사용하지 않는데 그 이유는 이와 같은 표현들은 방언에서 발견되는 변이형이나 소위 국제적 표기 방식으로 고려되는 표현이기 때문이다. 아울러 카탈루냐 전통적 시각표현 방식은 'cinc(=five)'와 'deu(=ten)'를 제외하고 다른 기수사의 사용은 허용하지 않는다. 이러한 언어적 현상은 결국 카탈루냐인들만이 공감하고 이해할 수 있는 독특한 디지털시계의 발명과 아날로그시계의 디자인 까지 영향을 미치게 되었다. 카탈루냐어 회화체에서 'quart' 체계는 일상생활에서 흔히 접할 수 있는 '$S{\acute{o}}n$ quarts of nou'과 같은 문장이나 'entre dos i tres quarts'와 같은 표현도 16분과 44분 사이에 어떤 시각을 구체적으로 의미하는지를 판단하기 어려운 해석상의 모호성을 야기한다. 본 연구는 카탈루냐어의 전통적 시각 표현은 감산방식을 사용하지 않으며 단어 'quart'는 어원적으로 타종체계와 관련이 있는 단어이므로 시계 체계와 관련되는 '15분'이란 구체적인 양적 의미는 원래 없다는 사실을 문법적 특수성과 대화상의 맥락 그리고 특수한 시계의 발명이나 아날로그시계의 디자인에서 나타나는 언어적 특수성 등을 통해 살펴보고자 한다.

• 대한수학회논문집
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• 제31권1호
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• pp.1-16
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• 2016

The Fibonacci sequence is a sequence of numbers that has been studied for hundreds of years. In this paper, we introduce the modified k-Fibonacci-like sequence and prove Binet's formula for this sequence and then use it to introduce and prove the Catalan, Cassini, and d'Ocagne identities for the modified k-Fibonacci-like sequence. Also, the ordinary generating function of this sequence is stated.