• 정보보호학회논문지
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• 제14권3호
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• pp.41-48
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• 2004

유한체의 곱셈과 나눗셈은 오류정정부호와 암호시스템에서 중요한 산술 연산이다. 유한체 GF(2$^{m}$ )의 원소를 표현하기 위해 다양한 기저가 사용되며 차수가 m인 GF(2)상의 원시다항식으로 구성할 수 있다. 정규기저를 사용하면 곱셈이나 곱셈 역원의 연산을 쉽게 수행할 수 있다. 정규기저 표현을 이용하는 Massey-Omura 승산기는 동일한 2진함수를 사용하여 몇 번의 순회치환으로 곱셈 또는 나눗셈이 수행되며 논리함수의 곱셈항 수가 승산기의 복잡도를 결정한다. 유한체의 정규기저는 항상 존재한다. 그러나 주어진 원시다항식에 대해 최적의 정규원소를 구하는 것은 쉽지 않다. 본 논문에서는 정규기저의 생성 방법을 고찰하고, Massey-Omura 승산기를 이용한 곱셈 또는 곱셈 역원의 계산에서 연산의 복잡도를 최소화할 수 있는 정규기저를 각 원시다항식에 대해 구하여, 최적의 정규원소와 곱셈항의 개수를 제시한다.

• 정보보호학회논문지
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• 제16권2호
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• pp.105-111
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• 2006

암호 활용과 코딩 이론은 유한체 $GF(2^m)$에서의 연산을 사용한다. 유한체 연산을 사용하는 분야에서 연산기의 공간, 시간 복잡도의 효율성은 메모리와 수행시간에 많은 영향을 미친다. 따라서 유한체 곱셈기를 효율적으로 구성하기 위한 노력은 계속 되고 있다. [11]에서 Massey-Omura는 정규기저를 사용하는 곱셈기를 제안했고, [1]에서 Agnew는 긴 지연시간을 갖는 Massey-Omura 곱셈기를 개선한 순차 곱셈기를 제안했다. Rayhani-Masoleh와 Hasan 그리고 S.Kwon은 Agnew의 곱셈기의 구조를 개선한 공간 복잡도를 줄인 곱셈기를 각각 제안했다[2,3]. [2]에서 Rayhani-Masoleh와 Hasan이 제안한 곱셈기의 구조는 [1]의 곱셈기보다 경로 지연시간은 약간 증가하였다. 하지만, [3]에서 S.Kwon는 [1]의 구조에서 시간 효율성의 감소가 없는 곱셈기의 구조를 제안했다. 본 논문에서는 type-II 최적 정규기저에서 S.Kwon의 곱셈기와 시간과 공간 효율성이 같은 Rayhani-Masoleh와 Hasan의 구조를 변형한 곱셈기를 제안한다.

• 대한전기학회:학술대회논문집
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• 대한전기학회 2003년도 학술회의 논문집 정보 및 제어부문 B
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• pp.773-776
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• 2003

This paper presents new hardware implementation of the ECC(Elliptic Curve Cryptography) algorithm that is improved in speed and stability. We proposed new datapath that changed square's position so that we can reduce required number of cycles for addition operation between two points by more than 30%. We used Massey-Omura parallel multiplier adopted Normal basis for fast scalar multiplications. Also the use of the window non-adjacent form (WNAF) method can reduce addition operation of each other different points. We implemented ECC system with GF($2^{196}$), and this system was designed and verified by VHDL.

• 대한전자공학회:학술대회논문집
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• 대한전자공학회 2006년도 하계종합학술대회
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• pp.35-36
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• 2006

This paper presents an effective multiplier in GF($2^m$) based on programmable cellular automata (PCA) and uses a normal basis. The proposed architecture has the advantage of high regularity and a reduced latency. The proposed architecture can be used in the effectual hardware design of exponentiation, division, inversion architectures.

• 한국정보보호학회:학술대회논문집
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• 한국정보보호학회 1992년도 정기총회및학술발표회
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• pp.127-130
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• 1992

GF(2m) 이론은 switching 이론과 컴퓨터 연산, 오류 정정 부호(error correcting codes), 암호학(cryptography) 등에 대한 폭넓은 응용 때문에 주목을 받아 왔다. 특히 유한체에서의 이산 대수(discrete logarithm)는 one-way 함수의 대표적인 예로서 Massey-Omura Scheme을 비롯한 여러 암호에서 사용하고 있다. 이러한 암호 system에서는 암호화 시간을 동일하게 두면 고속 연산은 유한체의 크기를 크게 할 수 있어 비도(crypto-degree)를 향상시킨다. 따라서 고속 연산의 필요성이 요구된다. 1981년 Massey와 Omura가 정규기저(normal basis)를 이용한 고속 연산 방법을 제시한 이래 Wang, Troung 둥 여러 사람이 이 방법의 구현(implementation) 및 곱셈기(Multiplier)의 설계에 힘써왔다. 1988년 Itoh와 Tsujii는 국제 정보 학회에서 유한체의 역원을 구하는 획기적인 방법을 제시했다. 1987년에 H, W. Lenstra와 Schoof는 유한체의 임의의 확대체는 원시정규기저(primitive normal basis)를 갖는다는 것을 증명하였다. 1991년 Stepanov와 Shparlinskiy는 유한체에서의 원시원소(primitive element), 정규기저를 찾는 고속 연산 알고리즘을 개발하였다. 이 논문에서는 원시 정규기저를 찾는 Algorithm을 구현(Implementation)하고 이것이 응용되는 문제들에 관해서 연구했다.

• 한국전자통신학회논문지
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• 제4권3호
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• pp.197-203
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• 2009

부호이론이나 암호학의 응용분야에 유한체는 매우 중요한 내용이고, 컴퓨터에서의 구현시에는 종규기저를 사용하는 것이 효과적이다. 본 논문에서는 유한체 타입 I 최적정규기저를 가지는 $GF(2^{mk})$는 $GF(2^m)$의 확대체가 된다는 사실을 이용하여 지금까지 알려진 가장 효율적인 Reyhani-Masoleh and Hasan의 곱셈기보다 25%정도 빠른 곱셈기를 소개하려고 한다.

• 전자공학회논문지B
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• 제28B권10호
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• pp.799-806
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• 1991

Utilizing dual basis, normal basis, and subfield representation, three different finite field multipliers are presented in this paper. First, we propose an extended dual basis multiplier based on Berlekamp's bit-serial multiplication algorithm. Second, a detailed explanation and design of the Massey-Omura multiplier based on a normal basis representation is described. Third, the multiplication algorithm over GF(($2^{n}$) utilizing subfield is proposed. Especially, three different multipliers are designed over the finite field GF(($2^{4}$) and the complexity of each multiplier is compared with that of others. As a result of comparison, we recognize that the extendd dual basis multiplier requires the smallest number of gates, whereas the subfield multiplier, due to its regularity, simplicity, and modularlity, is easier to implement than the others with respect to higher($m{\ge}8$) order and m/2 subfield order.

• 대한전자공학회:학술대회논문집
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• 대한전자공학회 1999년도 하계종합학술대회 논문집
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• pp.433-438
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• 1999

디지털 컨텐츠의 정보보호는 근래 매우 중요한 기술로 등장했다. 애써 만든 디지털 컨텐츠가 무차별적으로 복제되어 배포되면 컨텐츠 제공자에게는 커다란 경제적 손실을 입히기 때문에 이를 보호하려는 기술이 개발되고 있다. 특별히 DVD나 MP3, AAC 등 네트워크 환경에서 고급 품질의 영상이 품질의 손상 없이 복제되어 네트워크를 통해 클릭 한 번으로 배포될 수 있기 때문에 이에 대한 대처가 시급한 실정이다. 따라서, 이에 대한 해결책으로 타원곡선 암호시스템을 사용하는 상황에서 필요한 갱신가능 구조를 고려한 Massey-Omura 곱셈기를 제안한다.

• 호남수학학술지
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• 제29권3호
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• pp.415-425
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• 2007

The normal basis has the advantage that the result of squaring an element is simply the right cyclic shift of its coordinates in hardware implementation over finite fields. In particular, the optimal normal basis is the most efficient to hardware implementation over finite fields. In this paper, we propose an efficient parallel architecture which transforms the Gaussian normal basis multiplication in GF($2^m$) into the type-I optimal normal basis multiplication in GF($2^{mk}$), which is based on the palindromic representation of polynomials.

• 대한전자공학회논문지SD
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• 제40권12호
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• pp.80-86
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• 2003

타원곡선 암호(Elliptic Curve Crypto-graphy : ECC)는 기존의 어떤 공개키 암호 시스템보다 우수한 비트 당 안전도를 제공하고 있어 최근 큰 관심을 끌고 있다. 타원곡선 암호 시스템은 보다 작은 키 길이를 갖고 있어 시스템의 구현에 있어서 작은 메모리 공간과 적은 처리 전력을 필요로 하므로 다른 암호화 방식에 비해 임베디드 어플리케이션에 적용하는데 유리하다 본 논문에서는 제곱 연산이 용이한 정규기저로 표현된 유한체에서의 곱셈기를 구현하였다. 이 곱셈기는 타원곡선 암호에서 사용되는 GF(2/sup 193/) 상에서 구현하였고, Massey와 Omura가 제시한 병렬 입력-직렬 출력 곱셈기의 구조를 변형하여 출력의 크기와 설계면적을 조절할 수 있다. 또한 제안한 곱셈기를 적용하여 정규기저 역원기를 구현하였다. 곱셈기와 역원기는 HDL을 이용하여 설계하구 0.35㎛ CMOS 셀 라이브러리를 이용하여 구현하였으며 시뮬레이션을 통해 동작과 성능을 검증하였다.