Generation of Maximum Length Cellular Automata

최대길이를 갖는 셀룰라 오토마타의 생성

Abstract

Linear cellular automata(CA) which generate maximum-length cycles, have wide applications in generation of pseudo-random patterns, signature analysis, cryptography and error correcting codes etc. Linear CA whose characteristic polynomial is primitive has been studied. In this paper Ive propose a effective method for generation of a variety of maximum-length CA(MLCA). And we show that the complemented CA's derived from a linear MLCA are all MLCA. Also we analyze the Properties of complemented MLCA. And we prove that the number of n-cell MLCA is ${\phi}(2^{n}-1)2^{n+1}$/n.

최대길이를 갖는 선형 90/150 셀룰라 오토마타(CA)가 패턴생성, 신호분석, 암호, 오류정정 부호에 응용되면서 n차 원시다항식을 특성다항식으로 갖는 선형 CA에 관한 연구가 활발하게 이루어지고 있다. 본 논문은 최대길이를 갖는 다양한 셀룰라 오토마타의 효과적인 생성방법을 제안한다. 특성다항식이 n차 원시다항식인 선형이며 최대길이를 갖는 CA(MLCA)로부터 유도된 여원 CA가 MLCA임을 밝히며 여원 MLCA의 여러 가지 성질들을 분석한다 또한 n-셀 MLCA를 ${\phi}(2^{n}-1)2^{n+1}$/n.개 생성할 수 있음을 보인다.

Ⅰ. 서론

셀룰라 오토마타(CA)는 Von Neumann'、에의하여 스스로 조직화하고 재생산할 수 있는 모델로 처음 소개되었다. 이후 1980년대에 Wolfram(2)은 CA를 셀이라 불리는 메모리의 배열로 소개하고, 셀의 상태가 자기 자신 및 인접한 셀 상태의 국소적인 상호작용에 의해서 동시에 갱신되는 동적 시스템으로 제안하였다. 또한 CA는 간단하고, 규칙적이며, 작은 단위로 확장 연결할 수 있는 구조이기 때문에 하드웨어 구현에 알맞다는 것이 알려졌다. VLSI 하드웨어 구현의 용이성과 랜덤성의 우수함으로 인해 LFSR의 대안으로 제안된 CA중, 특히 최대길이를 갖는 CA는 테스트 패턴 생성, 의사난수열 생성기, 오류정정부호, 신호분석, 암호 등 많은 분야에서 응용되고 있다.

Chang 등⑸은 최대길이의 선형이진 LFSR 수열을 90/150 NBCA를 이용하여 생성할 수 있음을 보였다. Cattell⑹과 Serra":는 주어진원시다항식을 특성다항식으로 갖는 LFSRe 하나 존재하는데 비하여 90/150 NBCA는 두 개가 있음을 보이고 이러한 CA의 합성법을 유클리드의 알고리즘과 이차 합동식을 이용하여 제안하였다. Nandi와 Chaudhuri'&는 최대길이를 갖는 CA를 다양하게 생성하기 위하여 90/150 IBCA를 제안하고, 이 CA를 이용하여 한 원시다항식에 대응하는 최대길이를 갖는 CA가 최대 18개까지 존재할 것이라고 추측하였다. 보다 우수한 랜덤성을 갖는 CA의 생성을 위하여 최대길이를 갖는 CA에 관한 연구는 1차원뿐만 아니라 2차원 CA에서도 연구되어왔다. Chowdhury 등 9은 랜덤패턴생성에 2차원 CA를 도입하였고, Cho 등"은 최대길이를 갖는 2차원 CA의 다양한 생성을 위하여 2-D IBCA를 제안하였다. Cho 등(ut2:은 선형 CA로부터 유도되는 여원 CA의 행동을 분석하였다.

본 논문은 최대길이를 갖는 다양한 셀룰라 오토마타의 효과적인 생성방법을 제안한다. 특성다항식이 "차 원시다항식인 선형 MLCA로부터 유도되는 여원 CA가 MLCA임을 밝히며 여원 MLCA의 여러가지 성질들을 분석한다. 또한 n -셀 MLCA를 女2”-1)2 "+S개 생성할 수 있음을 보인다.

Ⅱ. 셀룰라 오토마타

CA란 동역학계를 해석하는 한 방법으로 공간과 시간을 이산적으로 다루는 시스템이며, 셀룰라공간(cellular space)의 기본 단위인 각 셀 (cell)이 취할 수 있는 상태를 유한하게 처리하며, 각 셀들의 상태가 국소적인 상호작용에 의해서 동시에 갱신되는 시스템이다. 가장 간단한 구조를 가지는 1차원 CA(1-D CA)에서는 모든 셀들이 선형으로 배열되어 있고 1-D CA 중에서 국소적 상호작용이 세 개의 셀, 즉 자신과 인접한 두 셀에 의해 이루어지는 CA/를 3-이웃(3-neighborhood) CA라 한다. 본 논문에서 다루는 CA 는 3-이웃 1-D CA에 국한시킨다. 그림 1은 3-이웃 선형 CA의 셀 구조이다.

그림 1. 3-이웃 선형 CA의 셀 구조

세 개의 이웃을 가지는 CA에 대하여 시간 t에서 다음 시간에서 z번째 셀의 상태를 구하는 전이 함수는 다음과 같다.

#

여기서 /는 결합논리를 가지는 국소 전이 함수이다. 본 논문에서 사용되는 rule 90과 rule 150은 다음과 같은 논리결합으로 전이함수를 표현할 수 있다.

#

#

CA는 적용되는 rule의 논리의 종류에 따라 선형 CA(Linear CA), 가산 CA(Ad由tive CA), 비가산 CA(Nonadditive CA)로 분류되는데 각 셀에 적용된 rule이 XOR 논리로만 이루어진 CA는 선형 CA이다. 선형 CA의 상태 전이 함수는 행렬로 표현 될 수 있고 이 행렬을 전이 행렬이라 한다. 또한 셀에 적용되는 rule이 XNOR 과 XOR논리로 이루어진 CA를 여원 CA(Com-plemented CA)라 하고 선형 CAM 여원 CA 를 가산 CA라 한다. 셀들의 rule이 AND-OR 논리로 이루어진 CA를 비가산 CA라 한다. CA의 rule에 의해 변화되는 상태를 나타낸 상태 전이 그래프의 형태에 따라 Group CA와 Non-group CA로 분류할 수 있다. Group CA는 모든 셀들의 상태가 몇 개의 사이클을 이루며 반복되는 CA로 임의의한 상태에 대한 이전상태가 유일하다.

CA에서 가장 왼쪽과 오른쪽의 셀은 2개의 이웃만을 가지므로 세 번째 이웃의 상태를 결정해주어야 한다. 이것을 CA의 경계조건이라 하고 일반적으로 다음 세 가지의 경계조건을 이용한다. 제일 왼쪽과 오른쪽의 셀들이 0상태에 연결되어있는 NBCA (Null Boundary CA). 양 끝의 셀들이 서로 연결되어 있는 PBCA(Periodic Boundary CA), 가장 왼쪽(오른쪽) 셀의 다음 상태가 그 자신과 그것의 오른쪽(왼쪽) 이웃, 두 번째 오른쪽(왼쪽) 이웃 셀의 상태에 의존하는 IBCA( Intermediate Boundary CA) 이다. 90 과 150 rule 로만 이루어진 선형 CA 를 90/150 CA라고 하는데, 본 논문에서 언급되는 轮-셀 90/150 NBCA의 전이행렬은 다음과 같은 삼중대각행렬 (tridiagonal matrix)로 나타낼 수 있다.

#

여기서 a느 /번째 셀에 적용된 rule이 90인 경우는 0이고, 150인 경우는 1이다. $가 시간 /에서 CA의 상태를 나타내면, 시간 서T 에서 CA의 상태는 = 이다 또한 力단계 후의 CA의 상태는 饥" = 7、4$이다.

여원 CA의 다음 상태를 구하는 연산자를 ~T 라 하면, 다음 상태는 = ■, ①F이다. 여기서 F는 여원벡터로, 여원 규칙에 대응하는 선형규칙으로 표현한 전이행렬을 7라 할 때, 결과 값을 역으로 바꾸어야 하는 셀을 나타내는 위치의 성분 값이 1이고 나머지는 0인 "차원 벡터이다. 亍를 여원 CA의 연산자인 万를 2번 적용한 것이라 하면 /)시간 단계 후의 여원 CA 의 상태는 다음과 같다.

#(1)

Ⅲ. 최대길이를 갖는 CA

전이 행렬 7에 대하여 |t+m 를 CA의 특성다항식이라 한다. 90/150 NBCA는 특성다항식롸 최소다항식이 같다”:. &차 기약다항식 Xx) 가 时-1을 나누는 최소의 欢값이 2"—1일 때 /)(%)를 원시다항식이라 한다. 계수가 GF(2)의 원소인 力차 원시다항식의 개수는。(2"—1)彻이다监.

<정의>상태 전이그래프에서 주기가 2”—1인 如-셀 CA를 최대길이를 갖는 CA(Maximum Length CA, 이하 ML f-CA)라 한다.

<정리 1> &차 원시다항식을 특성다항식으로 갖는 선형 CA는 선형 MLCA이다.

증명 "셀 선형 CA의 특성다항식 4/가 원시다항식이라 하면, 원시다항식의 정의에 의하여 min m: c(x)|x:m-1 =2"—1이다 이는 CA 의전이 행렬 7에 대하여 47)=0이므로 FT—I = 0이며 7、»—徉。(0<々<2 ”-1)임을 의미한다. 그러므로 CA의 임의의 상태 %에 대하여 7、2”-咛=化=*이며 (純<2"—1)이다. 따라서 상태 0을 제외한 모든 상태가 주기가 2"—1인 사이클에 놓이므로 이 선형 CA는 MLCA 이다. □

임의의 원시다항식에 대응되는 최대길이를 갖는 선형 90/150 CA는 2개 존재한다⑹. 본 논문에서는 이러한 제약을 극복하고 보다 많은 MLCA를찾기 위해 여원 CA를 고려한다. 여원 CA에서 여 원 벡터 戶는 여원규칙이 적용되는 셀의 위치에 대응하는 성분 값이 1이고 나머지는 0인 벡터로, CA의 셀의 수와 같은 如차원 벡터이다. 그러므로 F는 모든 성분이 0인 0 벡터를 제외한 개를 만들 수 있고, 이것을 CA가 생성하는 상태들과 일대일 대응시킬 수 있다. 이러한 여원 CA는 모두 같은 전이행렬 7의 영향을 받는다. 이렇게 같은 전이행렬을 가지는 선형 CA를 여원 CA에 대응하는 선형 CA라 하고, 여원 CA는 선형 CA 로부터 유도된 여원 CA라 한다. 다음 정리에 의해 선형 MLCA 로부터 유도된 여원 CA는 MLCA가 됨을 알 수 있다.

<정리 2> "셀 선형 MLCA C로부터 유도되는 여원 CA C'는 MLCA이다.

증명. "셀 여원 CA의 모든 상태의 개수는 2” 이다. C'이 MLCA임을 보이기 위해서는 C'의상태전이그래프에서 길이가 次-1인 사이클이 있음을 보이면 된다. 이를 위하여 상태 0이 길이가 2”—1인 사이클에 있음을 보이는 것은 C'의 상태 전이 그래프에 길이가 2”—1인 사이클이 존재함을 보이는데 충분하다. C'의 여원 벡터를 F 라 하면, 상태 0에 대하여 식 (1)은

#

이다. C'의 상태전이 그래프에서 상태 0의 주기를 찾기 위해 云=0인 k를 찾아보자. C가 MLCA이므로 :产"-1=7이다. 그러므로 다음이 성립한다.

#

여기서 7、丰 /이므로 T2"-2® T2"~3®-©T ㊉7=0이다. 따라서 t2”tq=。이다. 즉 상태 0은 길이가 2"—1의 약수인 사이클 위에 있는 상태이다. 이제 상태 0이 놓인 사이클의 길이가 정확히 2"—1임을 보이기 위해 2"—1보다 작은 수 力에 대하여 식(1)은

#

이다. C가 MLCA이므로 尸=7.이 되는 최소의 为는 2”-1이다.

그러므로 0<般<2"-1인 力에 대하여

㊉…㊉7丰0이다. 그러므로 상태 0는 C'의상태전이 그래프에서 길이가 정확히 2”-1 인 사이클 위에 있다. 그러므로 C'의 상태전이 그래프에는 길이가 2X-1 인 사이클이 적어도 하나 존재한다. 그런데 力셀 CA의 모든 상태의 개수는 2”이므로 C'의 상태전이그래프는 길이가 2"—1 인 사이클 1개와 길이가 1인 사이클 1개로 이루어진다. 그러므로 c'은 MLCA이다. 口

정리 2의 증명에서 "셀 MLCA의 상태 전이 그래프는 주기의 길이가 2”—1인 사이클 1개와, 주기가 1인 사이클 1개로 이루어짐을 알 수 있다. 다음 정리는 주기가 1인 상태를 구할 수 있음을 보이며, 또한 이러한 상태의 성질을 밝힌다.

<정리 3> 특성다항식이 원시다항식인 선형 MLCA로부터 유도되는 여원 MLCA에 대하여 万侦吁) = T"인 k7\ 존재한다.

증명 . 0 이 아닌 여원벡터 F에 대하여

#

이다. 즉,

#(2)

이다. 한편, 전이행렬 7의 특성다항식을 /'(*)라고 하고, /食) =0라 하자. 7가 선형 MLCA 의 전이행렬이므로 /(%)는 원시다항식이다. 그러므로 /(#) = o 의 해인 a 에 의하여 {0, 1, a, 인 유한 확장체가 생성된다. 따라서 = 인 /> ( "—2 )가 존재한다. 六%)가 원시다항식이므로 六%)=0의 임의의 해 a에 대하여 l+a=a»을 만족하는 力 (1M 2M2"—2)는 유일하고 일정하다). a는 T의고유값이므로 T©Z= 이다. 그러므로 식 (2) 에서 = 2"—1—/)이다. □

정리 3에서 여원 MLCA의 주기가 1인 순환 상태인 丁华、의 k는 여원벡터 F와 관계없이 7의 특성다항식에 의해 결정됨을 알 수 있다. 그러므로 E의 변화에 따라 선형 MLCA로부터 유도할 수 있는 2 ”-1 개의 여원 CA가 모두 다른 MLCA이다.

<예>3-셀 CA의 rule이<90, 90, 150>일 때 전이 행렬과 특성다항식 m(x) 은 다음과 같은 원시다항식이므로 이 CA는 선형 MLCA 이다.

#

그림 2는 주어진 선형 MLCA의 상태전이 그래프이다. 여기서 상태 3과 4를 여원벡터 F라 할 때, 선형 MLCA에 의해 유도된 여원 CA의 상태 전이 그래프는 그림 3과 같다.

그림 2. 선형 MLCA

그림 3. 여원 MLCA

선형 MLCA의 특성다항식은 원시다항식이므로 특성다항식과 최소다항식이 같다. 특성다항식에 대하여 物(7) = 7、3 + 7、2+/= 0 이다. 如= 7%+/이므로 T5=T2(.T2+r)= T{T2 +1) 十7、2 = 7、+/이다. 그러므로 TKT+I) =7、7 =i 을 만족한다. 그러므로 정리 3의 식(2)의 k는 2 이다. E가 3인 경우는 그림 2에서 상태 3에서 2 단계 후인 상태 7이 길이가 1인 사이클에 놓이게 되고(그림 3(1)), F가 4인 경우는 그림 2에서 상태 4에서 2단계 후 인 상태 5가 길이가 1인 사이클에 놓이면서 두 여원 MLCA는 서로 다르다. 口

<정리 4> 耸셀 MLCA의 개수는 昭”-!) 2”+1俊 이다.

증명. 7?차 원시다항식의 개수는 成2"—1)/儿 이고"气 한 원시다항식에 대응하는 MLCA의 개수는 선형 90/150 MLCA 2개이다정리 3에 의하여 한 선형 MLCA로부터 유도되는 2”—1개의 여원 MLCA에 대하여 주기가 1인 순환 상태가 모두 다르므로 서로 다른 2"—1개의 여원 MLCA를 구성할 수 있다. 그러므로 임의의 沱차원시다항식에 대한 MLCA는 2+2(2”-1)개다. 그러므로 汇셀 MLCA의 개수는 成2"—1) 2"+i/勿이다. □

Ⅳ. 결론 및 향후 연구방향

최대길이를 갖는 유한상태기계는 패턴생성, 신호 분석, 암호, 오류정정 부호에 응용되므로, 处차원시다항식을 특성다항식으로 갖는 MLCA를 구성하는 것은 매우 중요하다. 본 논문은 보다 다양한 MLCA를 구성하기 위해 여원 MLCA를 이용하여, 以2”—1)2"+1/"개까지 구성할 수 있음을 보였다. 이는 "차 원시다항식을 특성다항식으로 갖는 MLCA가 2개 존재한다는 기존의 연구 결과 보다 향상된 결과이다. 또한 분석의 용이성을 위해 선형 MLCA로부터 여원 MLCA를 유도하였다. 향후 최대길이를 갖는 90/150 IBCA 로부터 여원 CA를 유도하여 더욱 다양한 MLCA를 구성하고 이를 분석하고자 한다.

* 본 연구는 2003년도 정보통신기초기술연구지원사업 (03-기초-0047)에 의해 수행하였습니다.