Free Vibration Analysis of 'ㄱ' Type Wall Structure using Polynomials having the Property of a Simple and Fixed Support Euler Beam Functions

단순 및 고정 지지된 Euler 보함수 성질을 갖는 다항식을 이용한 'ㄱ'형태 벽면 구조의 고유진동해석

Abstract

Many studies using the assumed mode method have been found for the free vibration analysis of stiffened plate with known elastic boundary conditions. However many local structures such as tank edges and equipment foundations consist of connected structures and it is very difficult to find suitable elastic boundary conditions. In this study combined polynomials which satisfy simply and fixedly supported boundary conditions are proposed. The proposed method has been applied to tanks which bounded by bulkhead and a deck. The results of this study shows good agreements with these obtain by the FEA S/W(Patran/Nastran).

1. 서 론

선박의 주요 기진원과 인접한 기관실 및 선미에는 선박 운항상 필요한 연료 및 청수탱크 구조가 많이 배치되어 있으며 항상 진동에 노출되어 있다. 건조나 인도 후에 진동 문제가 야기되면 보강비용 및 납기지연 등 선박 품질 측면에서 회사 이미지에 손실을 주게 된다. 따라서 이러한 진동문제를 설계 단계에서 예방하기 위한 방진설계 검토가 필요하고 이런 이유로 각 조선소는 자체적으로 설계실 실정에 맞게 근사 해석적인 진동 계산 프로그램을 개발하여 사용하고 있다.

이러한 근사 해석적 계산 방법의 경우 주로 파형 함수로 Bernoulli-Euler 보 이론(4)을 사용하나, 연산 과정이 복잡하여 이를 간소화하기 위한 보함수 성질을 갖는 다항식 연구가 많이 진행되었다.

Han(2,3)은 경계 조건이 동일한 Euler 보 고유함수를 조합하여, 파형 가정함수를 정의하고 판에 대한 진동 해석을 수행 하였으며, Kim(5)은 Timoshenko 보함수 성질을 갖는 다항식을 이용 평판과 보의 회전관성 및 전단변형 효과를 고려한 고유진동 해석을 수행하였다. Chung(1)은 판 유추 구조계의 경계 조건을 단순 및 고정지지의 중간 상태로 보고 적절한 경계조건을 부여하기 위해 구조물 양단에 회전탄성 구속 조건을 고려하였으며 전단변형 및 회전관성 효과가 매우 큰 선체 이중저 판넬 구조와 같은 진동 해석을 위해 Timoshenko 보함수 성질을 갖는 다항식 도출 방안을 제시하였다. 그러나 상기 연구들은 모두 주어진 탄성 경계조건에 대한 연구로서 적절한 경계조건 도출에 대한 연구는 발견하지 못 하였다. 이것이 지난 10년간 파형가정함수를 이용한 고유진동수 연구가 없었던 가장 큰 이유라 생각한다.

따라서, 이 연구의 목적은 판 구조에서 단순지지 경계조건과 고정지지 경계조건을 포함하는 파형 함수의 조합으로 실제 경계조건을 만족시키는 방법을 제시하고자 하였다.

 

2. 파형가정함수

Fig. 1은 단일 판과 연결 판 구조의 고유진동수와 고유모드를 유한요소 해석(FEA : finite element analysis) 프로그램을 통해 확인하였다. 그 결과 연결형 판 구조물 중 주 구조물의 1,2차 고유 모드는 단일 판의 해석 결과와 유사하고, 고유진동수는 단일 판의 고정–단순지지와 고정–고정지지 조건의 중간 상태에 있음을 확인할 수 있었다. 따라서, 두 조건의 조합된 상태의 파형함수를 정의하여 고유진동수 결과를 확인하였다.

Fig. 1FEA results of single and connected plate

먼저, 판 구조를 효과적으로 가정하는 방법은 x축 및 y축 방향으로 단순 보 고유함수의 선형 조합으로 가정하는 방법이 보편적으로 사용 되고 있다. 즉,

여기서, Xm(x), Yn(y) 는 x축 및 y축 방향의 보의 고유함수이고, p, q는 고유함수의 항수, Amn(t)은 각 항에 대한 미지 계수이다(2).

보의 파형가정함수 중 고정-고정 경계조건(ψ), 고정–단순 경계조건(ϕ)과 단순–고정 경계조건 (γ)을 만족시키는 1차 파형 가정함수의 다항식은 식 (2)~(4)로 각각 얻을 수 있다.

계수 A1, B1, C1은 보함수의 직교관계식을 이용하여 구현하였다.

여기서 i, j는 진동차수이고, δij는 Kronecker delta이다.

그리고, 2차모드 이상의 파형함수는 아래 식 (11)~(13)로부터 구현 할 수 있다.

계수 aki, bki, cki는 보함수의 직교관계식과 위 식 (11)~(13)으로부터 구할 수 있다.

Fig. 2에서 w1(x, y)판의 y축의 경우 갑판과 갑판 사이의 구조물로 구속되어 있으므로 파형 가정함수를 고정-고정지지 조건만으로 가정 하고 x축의 경우에는 고정–고정(ψ)과 고정–단순(ϕ) 파형 가정함수의 조합으로 표현 하였다.

Fig. 2The shape of connected structure

w2(x, y)의 경우도 위와 유사한 방법으로 정의하였으나 x축의 가정 파형 함수를 단순–고정(γ)지지 파형 가정함수를 사용하여 정리하였다.

여기서, pAi(t), qAi(t), pBj(t), pCk(t), qCk(t), pDl(t)는 보 파형 가정함수에서의 일반 좌표계이며, 는 벽면 구조를 이루는 파형가정함수의 일반좌표계이다.

 

3. 부분모드합성

Fig. 2는 선체 내부의 일반 탱크 구조물 형상을 표현한 것으로 연결 구조물의 해석을 위해 구조물 연결부에서 경계조건을 만족시키는 부분모드 합성법(6)을 이용하였다.

Fig. 2와 같은 ‘ㄱ’자 연결 구조는 다음과 같은 경사각과 모멘트에 대한 연속조건을 만족 시켜야 한다.

[Slope Continuity]

[Moment Continuity]

위 식에서 보는 바와 같이 경사각에 대해서 경계조건은 단순지지 경계조건을 만족시키는 g 자유도계만 관여하고, 모멘트 경계조건을 만족시키는 경우에는 f 자유도계만 관여함을 알 수 있다.

 

4. 연결구조물의 진동해석

파형가정함수를 이용한 고전적 근사 해법에 의한 진동 해석을 위해서는 해석 대상계의 탄성에너지 및 운동에너지 산식이 요구된다. 파형가정함수는 Euler 보 함수나 전단변형 효과를 고려한 Timoshenko 보 함수를 일반적으로 이용하고 있으며 Timoshenko 보 함수를 이용한 진동해석 방법에 대해서는 이미 Kim(5)이나 Chung(1)에 의해 수식화되어 있다.

이 연구에서는 연결구조물의 대한 진동해석 정식화 방법에 대해 유용성을 확인하고자 먼저 Euler 보 함수 성질을 갖는 다항식을 파형 함수로 정의하여 고유진동수를 계산하였으며 정식화 방법의 유용성 검증을 위해 Fig. 3 ‘ㄱ’–형태 벽면 구조물에 w2(x, y) 구조물 길이 변화에 따른 정식화 계산과 유한요소법(FEA) 결과를 비교/검토하였다. 유한요소 해석은 Patran/Nastran을 사용하였으며 ‘ㄱ’ 형태의 구조물은 아래와 같은 형상을 모델로 하였다.

Fig. 3The model for comparison of calculated results

Fig. 2처럼 주요 고려 대상인 구조물이 갑판과 격벽 등으로 구속되는 점을 감안하여 모서리 부분은 모두 고정 조건으로 고려하였다.

Table 1The property of model

Table 3은 Table 2의 계산결과 중 L1:L2가 1:0.6인 사례에 대해 하나의 평판에 대해 고정-단순지지 조건에 대한 유한요소 해석 결과를 나타내었다. Table 2의 계산 결과와 비교하면 전반적으로 가장 낮은 수치를 나타내고 있다. 이는 단순지지 조건과 더불어 고정지지 조건이 연결부위에 영향을 미치고있다고 판단되는 부분이다.

Table 2The comparison of results(unit : Hz)

Table 3FEA result of single plate for simply supported boundary conditions(unit : Hz)

Table 2의 길이 변화에 따른 정식화 방법 계산 결과를 살펴보면, 1차 모드는 유한요소 해석 결과와 유사하지만, 2차 모드의 경우 길이(L1, L3) : 높이(L2, L4)비가 1:0.6보다 작을 경우에는 유한요소 해석과 5 ％ 미만의 결과를 보이고 길이 : 높이비가 1:1의 경우 약 10 ％ 정도의 차이가 발생하지만, 실제 선박의 탱크 구조는 길이 : 높이비가 통상 1 : 0.5보다 작다. 그리고 통상 FEA 결과에서도 10 ％ 마진을 고려하는데 초기 설계 단계에서 벽의 공진 검토를 위한 것으로 조선소에서 관심 있는 저주파수 영역에서 FEA 결과와 유사함을 보여 주고 있다.

 

5. 결 론

연결구조물의 경계조건을 만족시키기 위하여 단순지지 및 고정지지 조건을 만족하는 다항식의 조합으로 파형함수를 가정함으로써 자유도계 증가를 최소화하는 효율적 방법을 제안하고 그 유용성을 Euler 보 성질을 갖는 ‘ㄱ’ 형태의 벽면 구조물에 적용하여 검증하였다.

이 연구는 경계조건 파악의 한계 때문에 실용성에 제한을 받는 탱크나 각종 보기대와 같은 연결 보 구조나 판의 고유진동해석에 파형가정함수 방법을 제시하였다.