Evaluation of the Applicability of Solution Methods for 3D Conversion from Cartesian to Geodetic Coordinates

3차원 직교좌표의 측지좌표 전환을 위한 해석기법의 적용성 평가

Abstract

The methods for implementing geocentric to geodetic coordinates conversion could be classified into two, which are respectively the closed-form and the iterative-form solutions. Essential conditions to achieve performances are accuracy, speed of convergence and/or simplicity of it's algorithm. Also, the algorithm must be valid at any of inner and outer points in the Earth, including center of Earth, the equatorial plane and the polar axis that are known as 'special regions'. This research planned for evaluating the feasibility of coordinates conversion in special regions, and comparing the accuracy of conversion solutions by using 10 methods for conversions from geocentric to geodetic coordinates. By comparing performances of statistical tests(with accuracy and solving success in special regions), Vermeille(2011) and Karney(2011) methods brought out more satisfied and finer results than other methods.

지심좌표를 측지좌표로 좌표전환하기 위한 방법은 직접해법과 순환해법으로 분류된다. 두 좌표 간의 이상적인 전환조건으로 알고리즘 코딩의 용이성, 전환결과의 정확성 및 처리과정의 신속성이 기본조건이다. 특히, 우주영역은 물론 지구내부영역에서 대상 점의 특정영역(극 부근, 적도면 부근, 지구중심 부근)에 관계없이 전환 해석할 수 있어야 한다. 본 연구는 지심좌표를 측지좌표로 좌표전환하기 위한 좌표전환해법 10종에 대한 좌표전환의 정확성, '특정영역'에서의 적용성을 비교 평가하였다. 연구결과, Vermeille(2011) 및 Karney(2011) 해법이 대상점의 공간적 위치에 관계없이 비교적 양호한 전환결과를 제시하였다.

1. 서론 및 연구목적

GNSS(GPS, GLONASS, COMPASS, GALILEO 및 SBAS 등) 및 VIBI, SLR 등과 같은 첨단 위성 · 우주 측지기술의 발전과 함께 ‘지심좌표(X,Y,Z)를 측지좌표(𝜙, λ, h)로 좌표전환’(이하 'XYZ2llh')은 공간정보 구축분야의 기본이 되고 있다. ‘XYZ2llh’는 첨단 측지기술을 이용한 정적 및 동적 위치결정, 측지기준계 간 좌표전환 및 지도투영좌표산정, GPS· IMU에 의한 항공기 자세제어, 위성궤도 섭동해석, GPS/VLBI 관측에 의한 위성 궤도력 산정 외에 육·해·공 항법분야의 응용 등에 필수적으로 적용된다. ‘지심좌표를 측지좌표로 전환하는 문제’를 좌표전환의 ‘역 문제’(inverse problem)라고도 한다. 그 반대인 ‘정 문제’의 경우는 산술적으로 직접전환이 가능한 반면, ‘역 문제’의 경우는 묘유선 곡률반경(N)이 측지위도(𝜙)의 함수이므로 비선형 ‘위도방정식’의 구성과 실근해석을 위한 별도의 선형화기법이 필요하다. 따라서, ‘역 문제’에서 위도와 고도를 계산하기 위해서는 ‘순환방식에 의한 해법’(iterative methods)이 기본으로 그 동안 여러 가지 순환 및 비순환 좌표전환 방법들이 발표되었다. 대표적인 좌표전환해법들에 대한 해석알고리즘의 장 · 단점 및 수치해석을 비교 · 분석한 연구로는 (Gerdan and Deakin, 1999; Fukushima, 1999; Fok and Iz, 2003; Burtch, 2006; Featherstone et al., 2008) 등이 있다. 특히, 대상점이 지구중심부분에 위치한 경우의 좌표전환 특성에 관한 연구로는 (Vermeille, 2004, 2011; Zhang et al., 2005; Laureano and Irene, 2009; Feltens, 2008; Karney, 2011) 등이 있으며 주로 대상점과 축폐선(evolute)간의 기하관계를 규명하는 문제를 연구한 내용들이다. ‘XYZ2llh’와 관련한 최신의 발표로는 (Vermeille, 2011; Karney, 2011)의 연구로서 두 해석이론은 Vermeille(2004)의 해석이론을 보완하여 지구 내 · 외부 어떤 장소에서도 대상점의 ‘XYZ2llh’ 전환이 가능한 동일 년도에 발표된 해석방법이다. 특히, 약간의 유도과정이 다를 뿐, 위도방정식의 개선 동기와 근간식이 매우 유사한 전환이론으로 Karney(2011)는 자신의 논문작성 기간 중, Vermeille(2011)의 연구가 발표되었음을 피력한바 있다. 특히, Vermeille(2004)은 자신이 2002년에 발표한 전환이론의 문제점(축폐선부근 43km이내 및 경도 ±180°부근의 해석제한)을 제시하였고 2011년에는 이들 문제점의 해결은 물론, ‘특정영역’(극축, 적도면 및 지구중심을 포함한 지구 내부 및 우주영역)에서도 좌표 전환할 수 있는 비선형 ‘4차 위도 및 고도 전환방정식’ 의 직접전환(CF)해법을 제시하였다. 국내에서는 Lee(2011) 가 직접전환해법의 변환정확도를 비교 연구한바 있다. IERS(The International Earth Rotation and Reference System Service)에서는 1996년 Borkowski(1987, 1989)의 CF해법(위도계산식의 ‘±’부호의 별도 처리 요함), 2003년에는 Fukushima(1999)순환해법, 2010년에는 Halley의 선형화기법을 적용하여 비 순환방식으로 좌표 전환하는 Fukushima(2006)해법을 ‘표준 좌표전환해법’으로 추천하고 있지만, 조건에 따라 변경될 수 있는 상황이다. 본 연구는 ‘XYZ2llh’ 방법 중, IF 5종, CF 5종(Borkowski는 IF 및 CF)을 선정, 각 해석이론 별 기본방정식의 유형 및 해법을 고찰하고 ‘Mathcad’로 프로그램밍 한 후, 전환 대상점의 다양한 공간적 조건을 고려하여 구성한 전환 대상점 모델에 적용하였다. 특히, Vermeille (2011)의 전환해법을 기준으로 해법별 ‘좌표전환의 정확성’ 비교 및 ‘특정영역 부근의 적용성’ 평가에 따라 10가지 좌표전환해법의 정확도를 고찰하고 전환 적용성을 비교 · 분석하였다.

 

2. 해석이론

지심좌표(X,Y,Z)의 측지좌표(𝜙, λ, h)전환을 위한 역문제 알고리즘은 묘유선 곡률반경(N)이 측지위도(𝜙)의 함무리식 형태의 비선형 ‘위도방정식’의 구성과 방정식의 실근을 구하기 위한 별개의 비선형해법기법(Fixed point, Netwon, Ferrari, Hally 등)이 필요하다. 위도방정식을 분류해 보면, 적용된 핵심방정식의 형태에 따른 분류(삼각방정식, 무리식(irrational form), 유리식(rational form), 4차 다항식(quartic form) 등) 또는 순환 유·무에 따라 직접해법(CF)과 순환해법(IF)으로 분류된다. 순환법의 경우, 사용되는 근간함수 및 알고리즘 유형에 따라 다양한 방법(삼각함수근간 : Heiskanen and Moritz, 1967; Torge, 1980; Bowring, 1976, 1985; Borkowski, 1989; Lin and Wang, 1995; Fukushima, 1999; Vector 근간 : Lin and Wang, 1995; Pollard, 2002; Zhang et al., 2005; Feltens 2009 등)이 있는데 이들 해법 중, Bowring(1976), Borkowski(1989) 해법 등이 널리 사용되고 있다. 위도관련 근사식 또는 제한 차수(2차∼4차)의 다항식 실근을 구하는 직접해법(Paul, 1973; Heikkinen, 1982; Ozone, 1985; Borkowski, 1989; Fukushima, 2006; Featherstone et al., 2008; Vermeille, 2004, 2011; Karney, 2011) 등은 순환해법에 비해 상대적으로 코딩은 복잡한 반면, 순환과정 없이 전환할 수 있고 (Borkowski, 1989; Fukushima, 2006; Karney, 2011; Vermeille, 2011)해법이 대표적이다.

You(2000)해법과 같이 CF방식이나 급수식에 근거한 비순환 근사해법도 있다. Table 1은 본 연구에서 선정한 10가지 전환해법의 방정식 유형과 실근을 위한 선형화기법(linearization tech.)을 나타낸 것이다.

Table 1.Equation type and solution techniques of 10 methods to conversion from XYZ to llh

Fig.1의 기준타원체에서 도형관계식{기준타원체 방정식, 자오면 내 묘유선곡률반경의 축폐선(evolute) 방정식 및 지구 중심에 위치한 적도면내 반경 ae2인 특이판 ( : singular dise)의 조건식}을 유도하면 각각 Eq. (1), Eq. (3) and Eq. (4)와 같다. 측지좌표(h𝜙)를 해석하기 위한 기본 조건으로 Fig. 1에서 의 에 대한 거리비율(k)를 도입하여 Eq. (5)를 구성한다. Eq. (5)는 Descartes(1637)의 법칙으로부터 p+q−e4의 부호에 따라 1개의 양의 실근과 1개 또는 3개의 (−)실근을 갖는 Eq. (6)와 같은 k에 관한 4차 비선형방정식(α : 계수)으로 전개되며 본 연구에서 선정한 직접전환해법들의 핵심방정식이 유도된다.

Fig. 1.The evolutes of the radius of the curvature in the prime vertical and meridian plans

n : radius of curvature in the prime vertical 𝜙, λ, h : geodetic latitude, longitude, and height X, Y, Z : Cartesian, geocentric coordinates

(Vermeille의 경우, α4 = 1, α3 = 2e2, α2 =− (p+q−e4), α1 =−2e2q,α0 =−e4)

대상점 M이 Fig. 1에서 축폐선의 정점(cusps) 즉, I점 및 J점에 위치할 경우는 p = 0, q = e4, K인 곳은 p = e4, q = 0인 경우이다. 타원체의 축폐선 및 특이판의 기하학적 성질에 따라 전환대상점 M이 지구중심부근에 위치할 경우, Eq. (7)과 같이 p, q, e4로 r을 구성하고 Eq. (8)의 조건판별식을 통해 축폐선 및 특이판에 대해 M점의 위치를 판별하면서 각 경우별로 비선형 4차 전환식의 실근을 해석할 수 있다.

 

3. 연구방법 및 대상점 모델 구성

본 연구에서는 ‘XYZ2llh’ 전환해법 중, 순환해법(IF) 5종, 즉 (Bowring, 1976, 1985; Borkowski_IF, 1989; Lin and Wang, 1995; Seemkooei, 2002; Torge, 2001) 및 직접전환해법(CF) 5종, (Ozone, 1985; Borkowski_CF, 1989; Fukushima, 2006; Vermeille, 2011; Karney, 2011)을 선정하였다. 다양한 공간 위치의 대상점에 대한 전환특성을 고찰하기 위해 Table 2와 같이 지표면은 물론 지하, 우주 및 특정영역에 위치한 대상점군을 고려하여 두 가지 종류(A, B) 의 적용모델을 다음과 같이 구성하였다.

Table 2.Sample data points(M) for Cartesian-to-geographic conversion, GRS80, unit(m)

적용모델 A의 대상점군(M)은 우리나라 중앙부(𝜙 = 38°, λ = 127°30')에 위치한 특정 대상점을 기준으로 ‘지구중심부~우주범위’ 의 공간에 위치하는 경우를 가정하고 타원체고 #x2212;6,000km ≤ h ≤ 107km 범위에서 18종(No.1~No.18)릏 선정한 후, 각 위치에대한 위도, 경도 및 고도를 ‘llh2XYZ’의정 전환 공식을 적용하여 직각좌표로 산출하였다. 적용모델 B의 18개 대상점군(M)은 지구 중심 적도부근에 위치한 특이판(Singular dise) 주변(내부, 정점, 외부)의 대상점(#1~#3), 극축 부(Z=10000, 42840, 100000 : #4~#6), 지심 부(#7) 및 묘유선곡률반경의 축폐선 부분(내부, 경계, 외부 : #8~#16) 등, 지구 내부의 ‘특정영역(special region)’에 위치한 대상점으로 선점하였다. 특히, 적용모델 B의 #17(US Little Diomede 섬) 및 #18(Russian Big Diomede 섬) 대상 점은 날짜변경선 부근 즉, 경도 180° 부근에 위치하는 대상점으로서 ‘XYZ2llh’의 전환과정에서 전환해법별 ‘경도’ 계산의 편이성을 고찰하기 위해 선점하였다. 기준타원체는 모든 전환과정에서 GRS80 타원체를 적용하였다.

 

4. 비교분석

Table 3은 적용모델 A의 18개 대상점(M)의 직교좌표에 10가지 전환 해법을 적용하여 측지위도, 측지경도 및 타원체 고를 전환 산출한 후, 각 대상 점의 참값 (𝜙 = 38°, λ = 127°30’,−6,000km ≤ h ≤ 107km)대비, 전환 해법별로 ‘전환오차의 절대평균’을 산출한 것이다. Table 3에서 Fukushima 해법의 ‘4.376E-10’는 유일하게 과대오차가 나타난 대상점(#1)을 제외하고 17개 대상 점만의 전환편차 절대평균값, #13~#18은 인공위성의 섭동연구를 고려하여 고도 500km ≤ h ≤ 107km 범위의 대상점 만을 고려한 전환편차이다. Fukushima(2006) 직접전환해법의 과대오차는 지구중심 부의 특이판 내부에 위치한 1개소에서 발생되었는데 Fukushima(2006)해법의 고도 적용범위가 −10km ≤ h ≤ 30,000km 인 것에 기인된다. 최근, 측량 기술의 발전에 따라 공간상의 제점에 대한 측지좌표의 정확도를 ‘㎜이내’로 설정할 경우, 본 연구에서는 위도 및 고도 성분의 좌표전환 허용오차 한계를 각각 0.5×10−5(arc second : 타원체면상에서 약 0.2㎜의 거리오차), 및 0.5㎜로 가정하여 비교의 기준으로 사용하였다. 10가지 좌표전환해법 중, Fukushima 직접해법을 제외할 경우, 18개 대상점의 위도전환 정확도는 직법전환 및 간법전환 해법 공히, ‘E-09(arc second)’의 대등한 수준을 보였다. 고도전환의 경우는 위도성분의 전환정확도 보다는 낮지만, ‘E-04(m)’수준의 전환정확도로 나타났다. 따라서, 적용모델 A 대상점 군의 직교좌표를 측지좌표로 전환하기 위해 선정한 10가지 해법 모두 ‘㎜이내’의 대체로 양호한 전환결과를 제공하였다.

Table 3.Comparison of the coordinate transformation methods with respect of the obtained accuracy for the height range −6,000km ≤ h ≤ 107km, GRS80 ellipsoid

특히, 인공위성궤도의 섭동연구에서 ‘XYZ2llh’는 필수과정으로 GPS위성(평균 고도 20,200km)의 경우, 보통력의 궤도오차를 감안할 때 전환 허용오차는 위도 및 고도에서 각각 5.1×10−7(arc second) 및 5㎜ 이내가 요구되고 있다. 또한, 위성궤도가 107km인 경우는 각각 5.9×10−7(arc second) 및 1.8㎝ 수준이다. Table 2의 #13∼#18 대상점에 대한 전환결과를 고찰하면 Ozone 해법을 제외한 9가지 해법 모두, 위도성분에서 ‘E-10 ∼ E-11(arc second)’, 고도성분은 ‘E-04(m)’ 수준의 전환이 가능하였다. 따라서, ‘좌표전환의 정확도’만을 고려한다면, 위성궤도의 섭동해석 연구에 9가지 해법 모두 적용가능하며 특히, 직접해법을 적용할 경우, 계산시간을 보다 단축할 수 있을 것으로 판단된다.

Table 4 and 5는 각각 적용모델 B의 지구 중심부 특정영역에 위치한 대상점(M) 16개소의 직각좌표에 10가지 전환해법을 적용하고 측지위도 및 타원체고를 산출하고 Vermeille(2011) 해법의 전환값을 기준으로 다른 9가지 해법의 측지위도 및 타원체고 성분 간, ‘전환편차의 절대평균값’을 산출한것이다. 비교 기준으로 Vermeille(2011)해법을 선정한 것은 ‘XYZ2llh’ 전환관련 발표된 최근의 해법이며 Karney (2011)의 전환해석이론과도 매우 유사한 점 특히, 기존 발표된 전환해법에서는 제외되었던 ‘특정영역’에 위치한 대상점까지 고려한 전환해법인 것에 기인한다. Table 4 and 5에서 적용모델 B의 #1∼#16 대상점은 특이판 및 축폐선경계조건을 고려하여 선정한 것으로 측점별 기하학적 세부속성은 다음과 같다. #1∼#3 측점은 적도면의 특이판 내부, 정점 및 외부에 위치하며 #4∼#6 측점은 극축(Z)의 좌표가 10,000m, 42,840m, 및 100,000m인 위치에 있다. 또한, #7 측점은 직각좌표계 원점에 가장 인접한 점이다. 또한, 세 가지 대상점군(#8∼#10, #11∼#13, 및 #14∼#16)은 각 군별로 3개 대상점의 순서에 따라 Z값은 1m, 8m, 25m이고 묘유선곡률반경의 축폐선 내부, 경계선 인근 및 외부에 위치하며 16개 대상점 모두 지구 내부의 ‘특정 영역’에 위치한다. Table 4 and 5로부터 지구중심 부의 특정영역에 위치한 16개 대상점의 전환과정에서 과대오차 또는 순환계산 중 수렴계산이 원할히 수행된 경우는 10가지 전환해법 중, Vermeill(2011) 및 Karney(2011)의 직접전환해법에 한하며 두 해법간의 편차 또한, 위도에서 1.139E-06(arc second), 고도에서는 거의 동일한 전환결과를 보였다.

Table 4.Comparison of the coordinate transformation methods with respect of the obtained accuracy for the transformed geodetic latitude, and convergence or divergence of the coordinates transformation. (Base method : Vermeille, Points : #1-#16 of model B, GRS80)

Table 5.Comparison of the coordinate transformation methods with respect of the obtained accuracy for the transformed geodetic height, and convergence or divergence of the coordinates transformation. (Base method : Vermeille, Points : #1-#16 of model B, GRS80)

반면, 다른 8종의 전환해법에서는 특이판(#2), 원점(#7) 및 축폐선 주변(#8∼#13)에서 대부분 과대오차가 나타났고 1차 계산 이후, 발산하는 양상을 보였다. 특히, 전환 대상점이 특성영역 중, ‘극축 주변 부’를 제외한, 나머지 ‘특성영역’에 있을 경우 ‘5가지 순환해법 모두’가 과대편차를 갖는 경향을 보였다. 또한, 극축(Z=10,000m) 방향의 축폐선 내부에 위치한 대상점 #4의 경우, 위도전환 결과에는 Borkowski (1989)와 Torge(2001) 해법, 고도전환결과는 두 해법 외에 Ozone(1985) 해법에서도 과대편차가 발생되었다. 본 연구에서는 16개 각 대상점이 특정영역 내에 다른 위치에 있지만, 지구 중심부의 ‘특정영역’에 위치한다는 공통분모를 감안하여 ‘16개 대상점 전체’와 ‘과대편차를 제외한 대상점’의 두 가지 경우로 구분하고 Vermeill(2011)해법을 기준으로 ‘전환편차의 절대 평균’을 산정하였다.

16개 측점 전체를 고려한 위도성분의 전환정확도 수준은 Karney(2011)와 Ozone(1985) 전환해법을 제외할 경우, E+01(arc sec), 고도성분의 경우는 E+03 ∼ E+04(m) 수준인 반면, 과대오차를 제외한 경우는 각각 E-04 ∼ E-07(arc sec) 및 E-00 ∼ E-06(m)로 전환해법별로 대상점의 위치에 따른 전환수준의 변동 폭도 크게 나타났다. 따라서 본 연구에서 선정한 10가지 ‘XYZ2llh’ 전환해법 중, Vermeille(2011) 및 Karney(2011) 해법만이 대상점의 공간 위치에 무관하게 좌표전환이 가능하였다.

Table 6.Determination of longitude(λ) at the points(#17, #18) near the International Date Line unit(decimal or sexagesimal degree)

Table 6은 날짜 변경선(American date)의 동쪽에 위치((X, Y, Z) = (−2578.0, −504.9, +5792.9)km)한 #17(λ = −168.92° = 168°55’w), 날짜 변경선(Asiatic date)의 서쪽에 위치[(X, Y, Z) = (−2577.1, −498.1, +5793.9)km]한 #18(λ = +190.94° = 190°56’E) 대상점에 대한 전환해법별, ‘경도’ 성분 결과 및 경도 산정과정의 추가 계산 요소를 정리한 것이다. 경도성분의 계산값에서 소수점이하의 자릿수는 전환해법의 알고리즘에 따라 60 진법 또는 10진법으로 표현되며 경도 180°부근의 실제대상점 위치에 맞는 경도(동경 또는 서경)로 환산하기 위한 추가 계산이 필요하다. 날짜변경선 서쪽에 위치한 #17 대상점의 경도는 Vermeille(2011), Karney(2011) 해법의 경우 +191.04519278(60진법)로서 191° 04′51.9278″이지만, 180°를 초과한 상태이므로 –360°만 더하면, –168°55′08.07″= -168.92°로 계산된다. Ozone(1985), Borkowski(1989) 및 Fukushima(2006) 해법의 경우는 –168.95480722(10 진법)으로 여기에 360를 가산하면 191.0451928로서 최초 Vermeille(2011)의 경도 전환결과와 동일하며 이후, Vermeille(2011)의 추가 작업을 수행하면 된다. 순환해법의 경도는 –168.55080722(60진법)이며 –168° 55′08.0722″ 로 계산된다. 날짜변경선 동쪽에 위치한 #18번 대상점의 경우 Vermeille(2011), Karney(2011) 해법의 전환경도는 +190.56211173(60진법)이며 190° 56′21.1173″로 계산된다. Ozone(1985), Borkowski(1989) 및 Fukushima(2006) 해법은 –169. 43788827(10진법으로 계산)로 여기에 360를 가산하면 +191.5621117로서 Vermeille의 경도 전환결과와 동일하다. 순환해법의 경우(Torge(2001), 제외)는 –169.03388827(60 진법)로 –169° 03′38.8827″이지만, 날짜 변경선 관계로 360°를 가산하여 +190° 56′21.1173″로 계산한다. 이와 같이 대상점이 날짜 변경선 주변에 위치할 경우라도 Vermeille(2011) 및 Karney(2011) 해법은 경도산정을 위한 알고리즘 구성에서 다른 8가지 전환해법과는 달리 ‘60진법 표기’ 및 ‘+’부호를 채택, 날짜변경선 주변 경도 계산의 혼선을 최소화하여 일률적인 계산 결과를 제시하였다.

 

5. 결 론

지심좌표로부터 측지좌표로의 전환을 위해 CF 전환해법 5종, 순환방식에 의한 간접전환해법 5종, 총 10가지 좌표전환해법을 선정하고 지표면은 물론 지구내부와 우주공간 상에 분포할 수 있는 다양한 대상점군의 전환에 적용하고 Vermeille(2011)해법을 기준으로 해법별 전환 정확도와 전환특성을 고찰한 결과,

첫째, 우리나라 중앙부 (𝜙 = 38°, λ = 127°30’)에서 고도 −6,000km ≤ h ≤ 107km 범위(지구중심부에서 우주영역)에 위치한 18개소 대상 점을 선점하여 10가지 전환 해법을 적용한 결과, 위도전환에서 10가지 좌표전환 해법 공히, ‘E-09(arc second)’, 고도전환의 경우는 ‘E-04(m)’ 수준으로 최근 측지응용분야의 허용정확도를 만족하면서 순환방식에 의한 간접전환법보다 직접전환법이 대체로 양호한 전환결과를 제공하였다. 또한, 고도 500km ≤ h ≤ 107km의 위성궤도 섭동연구에도(Ozone 해법 제외) 위도 및 고도 성분에서 ‘E-10 ∼ E-11(arc second)’, 및 ‘E-04(m)’ 수준의 좌표전환이 가능하였다.

둘째, 인공위성의 궤도섭동 (고도 500km ≤ h ≤ 107km)연구를 위한 해법별 좌표전환의 적용성면에서 Ozone해법을 제외한 9가지 해법은 위도 및 고도 성분에서 ‘E-10 ∼ E-11(arc second)’ 및 ‘E-04(m)’ 수준의 좌표전환이 가능하였고 직접해법을 활용할 경우, 계산시간의 단축도 기대할 수 있다.

셋째, 지구 중심부 특정영역 대상점(M)에 대해 10가지 전환해법을 적용하고 수렴상태를 검토하고 Vermeille(2011) 해법을 기준으로 좌표전환의 정확도와 적용성을 비교·고찰한 결과, Vermeille(2011) 및 Karney(2011) 해법은 전환대상점의 공간위치와 무관하게 좌표전환이 가능하였다. 또한, 날짜 변경선 주변에 위치한 대상점의 경도 전환에서도 ‘60진법’ 및 ‘+’부호의 일률적인 각 표기 알고리즘을 구현하여 경도 표기의 혼선을 최소화하였다.