Dislocation in Semi-infinite Half Plane Subject to Adhesive Complete Contact with Square Wedge: Part I - Derivation of Corrective Functions

직각 쐐기와 응착접촉 하는 반무한 평판 내 전위: 제1부 - 보정 함수 유도

Abstract

This paper is concerned with an analysis of a surface edge crack emanated from a sharp contact edge. For a geometrical model, a square wedge is in contact with a half plane whose materials are identical, and a surface perpendicular crack initiated from the contact edge exists in the half plane. To analyze this crack problem, it is necessary to evaluate the stress field on the crack line which are induced by the contact tractions and pseudo-dislocations that simulate the crack, using the Bueckner principle. In this Part I, the stress filed in the half plane due to the contact is re-summarized using an asymptotic analysis method, which has been published before by the author. Further focus is given to the stress field in the half plane due to a pseudo-edge dislocation, which will provide a stress solution due to a crack (i.e. a continuous distribution of edge dislocations) later, using the Burgers vector. Essential result of the present work is the corrective functions which modify the stress field of an infinite domain to apply for the present one which has free surfaces, and thus the infiniteness is no longer preserved. Numerical methods and coordinate normalization are used, which was developed for an edge crack problem, using the Gauss-Jacobi integration formula. The convergence of the corrective functions are investigated here. Features of the corrective functions and their application to a crack problem will be given in Part II.

Nomenclature

a, b : Length of free surfaces along y and x axes, respectively (y및 x축 상의 자유면 길이)

b_x, b_y : Burgers vector components (버거스 벡터 성분)

c : Crack length (균열 길이)

f_{i j}^I(θ), f_{i j}^II(θ) : Angular function (각도 함수)

x_d, y_d : Location of an edge dislocation on x and y axes, respectively (전위 위치의 (x,y) 좌표)

w(u_x), w(u_y) : Fundamental functions (기초 함수)

B_x, B_y : Dislocation density functions (전위밀도함수)

G : Shear modulus (전단강성계수)

G_kij, (k = x,y;i,j = xy) : Influence functions by Burgers vector component, b_k (버거스 벡터 성분b_k에 대한 영향 함수)

F_kij, (k = x,y;i,j = xy) : Corrective functions by Burgers vector component, b_k (버거스 벡터 성분b_k에 대한 보정 함수)

K_I^contact, K_I^contact : Stress intensity factors of complete contact (완전접촉 경계의 응력확대계수)

K_I^crack, K_I^crack : Stress intensity factors of crack (균열 선단의 응력확대계수)

κ : Kolosov constant (Kolosov 상수)

λ, λ_I, λ_II : Eigenvalues (고유값)

ν : Poisson’s ratio (프와송 비)

σ_rθ, σ_θθ : Stress components (응력 성분)

Φ(r, θ) : Stress potential (응력 포텐셜)

superscript D : Edge dislocation related (전위 관련 상첨자)

superscript C : Crack related (균열 관련 상첨자)

1. 서론

모서리가 날카로운 탄성체가 또 다른 탄성체에 응착접촉(adhesive contact)하여 하중을 가하게 되면 접촉부 경계에서는 무한대의 응력이 발생하게 된다. 이때 접촉하는 하중의 증가에 관계 없이 접촉면의 크기는 일정하게 되는데 이러한 특징으로부터 접촉역학에서는 이를 완전접촉(complete contact)이라 칭하고 있다. 완전접촉 상태에서 발생하는 접촉부 경계의 무한대 응력을 특이 응력(singular stress)라 하고 파괴역학에서 균열 선단(crack tip)에 발생하는 특이 응력과 유사한 특징을 갖는다. 따라서, 완전접촉 문제에서도 파괴역학에서와 같이 응력 특이성의 정도(또는 강도)를 나타내는 응력확대계수(stress intensity factor)를 정의하며 이를 이용하여 날카로운 모서리 근방의 응력장을 표현할 수 있다. 이때의 응력해석 방법은 고유치 문제(eigenvalue problem)를 해석하는 것으로, 응력 특이성의 지수가 고유치가 되며 고유함수는 각각의 응력성분이 된다. 이러한 완전접촉 문제에서 응력장을 구하는 방법은 앞선 연구에 잘 정리되어 있다[1,2].

프레팅 피로(fretting fatigue)에서 많이 관찰되는 접촉부 균열손상은 접촉부의 경계 부근에서 물체 내부로 균열이 진전하는 것을 말하며, 피로하중에 의해 균열 성장이 지속되면 최종적으로 재료가 파손될 수 있다. 이때 완전접촉에서와 같이 접촉부의 높은 응력 상태는 균열 발생 시간을 단축시키고 균열 진전을 가속할 수 있어 물체의 파단 수명을 줄이게 된다. 제트 항공기 엔진과 같은 가스터빈 엔진의 터빈 휠과 터빈 날개의 접촉부에서 관찰되는 이러한 프레팅 피로파손은 인명과 비용에 막대한 손실을 가져오므로 공학적 손상연구 분야에서 매우 중요한 주제이다. 이러한 파손의 가능성 및 현상을 정확히 분석하기 위해서는 접촉경계에 발생하는 균열의 파괴역학적 해석을 수행하여야 한다.

한편, 본 연구는 경수로형 핵연료의 PCMI(PelletCladding Mechanical Interaction; 소결체-피복관 기계적 접촉) 손상 문제를 이론적으로 해석할 수 있는 도구를 개발하기 위한 목적으로 시작하였다. 핵연료 PCMI 손상이란 핵연료봉 내에 장입되어 있는 원통형 우라늄 소결체가 원자로 내에서 열 및 조사(irradiation) 현상에 의해 반경방향으로 팽창할 때 소결체를 둘러싸고 있는 지르코늄 합금의 피복관(튜브)을 바깥쪽으로 밀어 피복관에 인장응력이 발생하도록 하며 그로 인해 피복관에 균열이 발생하여 성장할 경우 피복관이 관통되는 손상을 말한다. 한편 세라믹 재질의 소결체는 핵연료가 원자로 내에 장전된 후 피복관 내부에서 반경 방향의 균열이 발생하므로 피복관과 접촉하는 부분에 날카로운 모서리가 형성된다. 따라서 완전접촉의 접촉 경계에 균열이 발생하는 문제가 된다. Fig. 1에 PCMI 손상의 예를 그림으로 보여 준다.

Fig. 1. Typical view of the PCMI failure of a nuclear fuel rod.

PCMI에 의해 피복관에 관통 균열이 발생하면 핵분열 생성물이 연료봉으로부터 원자로 내 냉각수로 유출되고 이것은 냉각수의 방사능 준위를 상승시키며 그 수치가 제한치에 도달할 경우 안전을 위하여 발전 정지를 하도록 되어 있다. 그러므로 이와 같은 균열 손상을 방지하는 것이 원자력발전소 운전의 안전성 및 경제성 관점에서 매우 중요하다. 그러나 선행된 PCMI 손상의 해석적 연구[3-7]에서는 소결체에 날카로운 모서리가 형성되는 것은 고려하였으나 이로부터 응력이 집중(stress concentration)되는 것으로 해석하는 데에 그치고 있으며, 특이 응력에 대한 해석을 수행하지 않아 해석의 엄밀성이 부족한 문제가 있었다. 더구나 PCMI 상태에서 피복관에 발생하는 균열에 대한 해석은 수행된 적이 없다.

따라서 PCMI 손상의 이론적 해석을 위해서는 서로 다른 탄성적 성질을 갖는 물체 간의 완전접촉 경계에서 발생하여 물체 내부로 진전하는 균열의 응력확대계수를 구하여야 한다. 이를 위한 시작단계로서, 본 논문에서는, 우선 동일한 탄성적 성질을 갖는 물체 간에 접촉부가 응착되어 있는 경우를 고려하고 접촉 모서리에서 접촉면에 수직한 방향으로 균열이 존재하는 문제를 해석한다. 그방법 및 결과를 이용하여 향후 서로 다른 탄성체의 접촉에서의 균열문제로 확장시키고자 한다.

Fig. 2에 본 논문의 해석을 위한 기하학적 모델을 보여준다. 이것은 모서리 각도가 90°인 날카로운 모서리를 갖는 반무한 쐐기(“직각 쌔기”라 칭함)가 탄성적으로 동일한 반무한 평판에 응착 접촉하고 있는 경우 접촉경계로부터 반무한 평판 내부로(즉 - y축으로) 길이 c의 균열이 있는 문제이다. 이때 쐐기와 반무한 평판이 접촉하고 있지 않은 부분(자유면)이 존재하며 본 논문에서는 이를 유한한 값인 a, b를 사용하여 자유면의 영역이 −b ≤ x ≤ 0와 0 ≤ y ≤ a가 되도록 하였다. 그 이유는 본문에 설명하겠으나 해석과정 중 수치해석 방법을 사용할 필요가 있어 유한한 값을 사용한 것이다. 따라서, 해석과정에서 이에 대한 분석 및 검토를 수행할 것이다.

Fig. 2. Geopetrical description of the present problem (a single edge dislocation beneath the complete contact contact edge of a monolith).

본 연구에서는 균열의 응력확대계수를 구하기 위한 파괴역학적방법으로서균열을가상전위(pseudo dislocations)가 연속적으로 분포하고 있다고 생각하는 전위밀도함수법(dislocation density function method)[8]를 이용한다. 이것은 완전접촉에 의한 균열면 위치에서의 수직 및 전단응력과 균열면 위치에 분포시킨 가상 전위들에 의한 수직 및 전단응력의 합이 각각 0이 되어야 하는 무응력 (traction free) 조건을 만족하는 연립방정식을 구성하고 이로부터 균열 선단의 응력확대계수를 구하는 방법이다. 이때 연속된 전위의 분포에 의한 응력은 탄성론에서의 중첩의 원리를 사용하여, 하나의 전위에 의한 응력을 적분함으로써 구할 수 있다.

본 논문은 두 부분으로 분리하여 서술하였다. 제1부에서는 하나의 전위에 의한 응력을 해석하는 데에 초점을 맞추고 있다. 이를 위해 논문의 전체적인 해석 체계와 응착 완전접촉 및, 연속된 배열의 전위로 모사된, 균열에 의한 각각의 응력장 해석방법을 기술할 것이다. 특히 Fig. 3과 같이 무한 평판 내에 하나의 전위가 있는 경우의 응력 포텐셜(stress potential)[9]로부터 구한 응력장 수식을 이용하여 Fig. 2와 같이 자유면을 갖는 데에 따라 무한 평판으로 정의할 수 없는 경우의 응력장을 구하기 위해 필요한 보정 함수(corrective function)를 유도하고 그 수렴성(convergence)을 조사할 것이다.

Fig. 3. An edge dislocation in an infinite monolithic body.

이어서 제2부에서는 유도한 보정 함수의 특징을 관찰하고 하나의 전위에 의한 결과를 이용하여 연속된 전위로 모사되는 균열문제를 해석하는 방법에 대해 상세히 서술하고자 한다. 특히 이 과정 중 보정 함수의 수치적 근사가 필요하게 되므로 그 방법을 제안하고 토의할 것이다.

2. 해석

2-1. 해석 체계

Fig. 2와 같이 동일한 탄성적 성질을 갖는 직각 쐐기와 반무한 평판이 응착 완전접촉 상태를 이루고 접촉 경계 아래로 수직의 균열이 존재할 때 균열 선단에서의 응력확대계수는 아래와 같은 쳬계에 따라 구할 수 있다.

2차원 문제에서 균열 선단의 응력확대계수는 균열을 균열면에 수직한 방향으로 열리게 하는 모드 I과 전단 방향으로 미끄러지게 하는 모드 II로 구분할 수 있고 본 논문에서는 이를 각각 K_I^crack 및 K_II^crack으로 표기 한다. 이때 상첨자에 “crack”이라 나타낸 것은 2.2절에서 서술할 완전접촉 문제의 응력해석 시 날카로운 모서리와의 접촉경계에서 발생하는 특이 응력에 의해 또 다른 응력확대 계수를 나타낼 필요가 있으므로 이들을 구분하기 위한 것이다. 즉 본 논문에서 완전접촉 경계에서의 응력확대 계수는 K_I^contact 및 K_II^contact로 표기할 것이다.

Fig. 2에서 도시된 접촉면에 수직한 균열의 응력확대계수, K_I^crack 및 K_II^crack은 다음과 같이 정의된다.

\(\begin{aligned} K_{I}^{\text {crack }} & =\lim _{r \rightarrow 0}\left[\sigma_{\theta \theta}(r, \theta=-\pi / 2) \cdot \sqrt{r}\right] \\ K_{I I}^{\text {crack }} & =\lim _{r \rightarrow 0}\left[\sigma_{r \theta}(r, \theta=-\pi / 2) \cdot \sqrt{r}\right],\end{aligned}\)       (1)

또는

\(\begin{aligned}\begin{array}{l}K_{I}^{\mathrm{crack}}=\lim _{y \rightarrow-c}\left[\sigma_{x x}(y, x=0) \cdot \sqrt{y}\right] \\ K_{I I}^{\mathrm{crack}}=\lim _{y \rightarrow-c}\left[\sigma_{x y}(y, x=0) \cdot \sqrt{y}\right] .\end{array}\end{aligned}\)       (2)

식 (1)에서는 응력확대계수를 극좌표계로 표현하였고 식 (2)에서는 이를 데카르트(Cartesian) 좌표계로 나타낸 것이다.

식 (1) 및 (2)에서 각 응력 성분의 값은 균열 선단 바로 앞에서 구한다. 본 연구에서와 같이 Fig. 2와 같은 균열 문제일 경우 각 응력 성분의 값은 완전접촉에 의한 것과 균열을 가상전위로 가정하였을 때 전위에 의해 발생하는 응력 값들의 선형 합이 된다. 이를 풀기 위한 방법을 체계적으로 정리하면 다음과 같다.

i) 완전접촉 문제의 응력해석 단계: Fig. 2에서 균열이 없다고 가정하고 완전접촉 문제를 해석한다. 이때의 결과로 접촉 모서리의 특이 응력에 따른 응력확대계수 K_I^contact 및 K_II^contact가 포함된 응력장 식을 Fig. 2의 좌표 평면 상에서 구한다. 이로부터 원래 균열이 있는 위치 좌표에서의 수직 및 전단 응력 성분 식을 유도한다. 이 해석단계는 아래의 2.2절에 간략히 서술한다.

ii) 균열문제의 응력해석 단계: 균열을 가상 전위의 연속된 분포로 생각하여 균열면에서의 수직 및 전단 응력성분 식을 유도한다. 이때 수직 및 전단 응력성분은 전위의 Burgers vector성분(b_x, b_y) 중 균열면을 열거나 (opening) 미끄러지게 하는(shearing) 각각의 방향 성분으로부터 결정된다. Fig. 2와 같은 경우 수직 응력성분은 b_x로부터, 그리고 전단 응력성분은 b_y로부터 구할 수 있다. 이 해석 단계에서 필수적인 것은, 전술한 것과 같이, Fig. 2에서 접촉하는 물체에 존재하는 자유면에서의 무응력 조건이 성립되도록 하기 위해 Fig. 3의 경우에 Burgers vector로부터 구하는 응력성분의 수식에 보정함수를 결정하여 포함시켜야 한다는 것이다. 이 해석단계는 본 논문의 중요한 목적에 해당하므로 아래의 2.3절에 상술한다.

iii) 무응력 조건식: 위의 i)과 ii)에서 구한 균열면 상에서의 수직 및 전단 응력 성분 합이 각각 0이 되어야 하는 무응력 조건을 적용하면 다음과 같은 형태의 연립방정식이 구성된다.

σ_θθ^C + σ_θθ^D = 0,

σ_rθ^C + σ_rθ^D = 0       (3)

여기서, 상첨자 C와 D는 각각 완전접촉 및 전위에 의한 것임을 표현하고 있고, σ_θθ와 σ_rθ는 각각 균열면에 수직 및 전단 방향의 응력을 나타낸다.

식 (3)의 연립방정식으로부터 최종적으로 균열의 응력 확대계수, K_I^crack 및 K_II^crack을 구하게 된다. 이와 같이 완전접촉에 의한 응력과 가상전위에 의한 균열면에서의 응력을 선형적으로 더하여 문제를 해석할 수 있는 근거는 탄성론에서의 중첩의 원리가 적용된 것으로 균열 문제에서는 이를 특별히 Buckner 원리[10]라 한다. 따라서, 접촉하중에 더하여 반무한 평판에 인장하중과 같은 추가적인 하중이 인가될 경우, 그에 의한 균열면 상의 응력을 다시 선형적으로 더하여 동일한 방법으로 해석하면 된다.

2-2. 완전접촉 문제의 응력 해석

Fig. 2와 같이 모서리가 날카로운 쐐기와 반무한 평판이 응착 완전접촉을 이루는 경우(Fig. 2에서 균열이 없는 경우를 생각한다), 모서리 주위의 응력장 해석은 Williams [11]가 개발한 다음과 같은 Airy 응력 포텐셜로부터 출발한다.

Φ^C(r , θ) = r^{λ + 1} {a_i cos(λ + 1)θ + b_i sin (λ + 1)θ + c_i cos(λ - 1)θ + d_i sin(λ - 1)θ},(i = 1,2)       (4)

여기서 Φ^C(r ,θ)는 접촉 경계를 원점으로 하는 극좌표계의 Airy 응력 포텐셜이며 λ는 고유치(eigenvalue)로서 궁극적으로 응력의 특이성 지수인 (1 – λ)를 결정하게 되고 a_i – d_i(i = 1,2; i는 접촉물체의 구분 기호로서 본 논문에서와 같이 접촉하는 두 개의 물체가 탄성적으로 동일하면 생략할 수 있다)는 고유 벡터(eigen vector)이다.

식 (4)를 이용하여 응력 및 변위 성분을 유도한 뒤, 경계조건으로서 접촉면에 수직 및 전단 방향의 응력과 변위가 연속적이고, 자유면에서의 수직 및 전단응력은 0이 되어야 하는 경계조건을 적용하여 고유치 문제(eigenvalue problem)를 구성하고 점근법(asymptotic method)를 이용하여 구할 수 있다. 이 방법은 이미 발표되어[1,2] 잘 알려져 있으므로 여기서는 응력 성분의 결과 식만 기술한다.

Fig. 2와 같은 응착 완전접촉 문제에서 0 < λ < 1에 해당하는 λ는 두 개 존재하고, 이를 각각 λ_I, λ_II (구분을 위해 0 < λ_I < λ_II < 1라고 하자. 따라서 (λ_I – 1)의 지수를 갖는 항이 더 큰 특이성을 갖게 된다)로 표기할 때 응력장은 식 (5)와 같은 형태로 쓸 수 있게 된다.

σ_ij = K_I^contactr^λ_I-1 f_ij^I(θ) + K_II^contactr^λ_II-1 f_ij^II(θ) + nonsingular bounded terms, (i, j = r, θ)       (5)

여기서, K_I^contact 및 K_II^contact는 2.1절에 서술하였듯이 완전 접촉에서의 일반 응력확대계수(generalized stress intensity factors)이며 접촉 경계에서의 실제 응력 값을 나타내기 위한 scaling factor의 의미를 갖는다. 또 f_ij^I(θ) 및 f_ij^II(θ)는 각각 λ = λ_I, λ_II일 때 접촉 물체 내부의 응력장 분포의 형태를 나타내는 것으로 θ만의 함수이다. K_I^contact 와 K_II^contact는 다음의 식 (6)를 이용하여 구한다.

K_I^contact = lim_r→0[σ_θθ(r,θ_I) · r^{1 - λ_I}],

K_II^contact = lim_r→0[σ_rθ(r,θ_II) · r^{1 - λ_II}]       (6)

여기서, θ_I, θ_II는 식 (5)에서 다음과 같이 되도록 설정한다.

f_θθ^II(θ_I) = 0, f_rθ^I (θ_II) = 0,

f_θθ^I(θ_I) = 1, f_rθ^II(θ_II) = 1.       (7)

본 논문에서와 같이 접촉하는 두 개의 물체가 탄성적으로 동일하면 λ_I, λ_II 및 θ_I, θ_II는 다음과 같은 값을 갖는다[1].

λ_I = 0.5445, λ_II = 0.9085,

θ_I = θ_II = -π/4       (8)

2-3. 전위에 의한 응력장

균열을 가상 전위의 연속된 배열로 생각한다. 전위의 배열에 의한 응력장은 하나의 전위에 의한 응력장 수식을 유도하고 이후 이를 균열 길이에 대해 적분함으로써 구하는 방법을 사용한다. 한편 무한 평판 내 좌표축의 원점에 존재하는 전위(edge dislocation)에 의한 평판 내 응력장은 Dundurs가 개발한 다음의 Airy 응력 포텐셜로부터 구할 수 있다[9].

\(\begin{aligned}\phi^{D}=\frac{2 G}{\pi(\kappa+1)} r \log r\left[-b_{x} \sin \theta+b_{y} \cos \theta\right]\end{aligned}\)       (9)

여기서 𝜙^D의 상첨자 D는, 앞서의 정의와 같이, 전위 (dislocation)에 의한 것임을 표기한 것이며, G는 재료의 전단강성계수, κ는 Kolosov 상수로서 평면응력일 때 (3 − 4v)/ (1 + v), 평면변형율일 때 (3 − 4v)이다(ν는 프와송 비). 또한 b_x, b_y는 각각 전위의 Burgers vector의 x 및 y 방향 성분을 표시한다. 한편 \(\begin{aligned}r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, \theta=\operatorname{Tan}^{-1}(y / x)\end{aligned}\) 이다. 이로부터 응력성분은 다음의 편미분을 통해 구할 수 있다.

\(\begin{aligned}\sigma_{x x}=\frac{\partial^{2} \phi^{D}}{\partial y^{2}}, \sigma_{y y}=\frac{\partial^{2} \phi^{D}}{\partial x^{2}}, \sigma_{x y}=-\frac{\partial^{2} \phi^{D}}{\partial x \partial y}\end{aligned}\)       (10)

이에 따라 전위가 (x,y) = (x_d,y_d)에 위치하는 경우 응력 성분은 다음과 같이 계산된다[8].

\(\begin{aligned}\begin{array}{l}\sigma_{i j}\left(x, y ; x_{d}, y_{d}\right)=\frac{2 G}{\pi(\kappa+1)}\left[G_{x i j}\left(x, y ; x_{d}, y_{d}\right) b_{x}\left(x_{d}, y_{d}\right)+\right. \\ \left.G_{y i j}\left(x, y ; x_{d}, y_{d}\right) b_{y}\left(x_{d}, y_{d}\right)\right],(i, j)=(x, y)\end{array}\end{aligned}\)       (11)

여기서,

\(\begin{aligned}\begin{array}{l}G_{x x x}\left(x, y ; x_{d}, y_{d}\right)=-\frac{\left(y-y_{d}\right)}{r^{4}}\left[3\left(x-x_{d}\right)^{2}+\left(y-y_{d}\right)^{2}\right] \\ G_{y x x}\left(x, y ; x_{d}, y_{d}\right)=\frac{\left(x-x_{d}\right)}{r^{4}}\left[\left(x-x_{d}\right)^{2}-\left(y-y_{d}\right)^{2}\right], \\ G_{x y y}\left(x, y ; x_{d}, y_{d}\right)=\frac{\left(y-y_{d}\right)}{r^{4}}\left[\left(x-x_{d}\right)^{2}-\left(y-y_{d}\right)^{2}\right], \\ G_{y y y}\left(x, y ; x_{d}, y_{d}\right)=\frac{\left(x-x_{d}\right)}{r^{4}}\left[\left(x-x_{d}\right)^{2}+3\left(y-y_{d}\right)^{2}\right], \\ G_{x x y}\left(x, y ; x_{d}, y_{d}\right)=\frac{\left(x-x_{d}\right)}{r^{4}}\left[\left(x-x_{d}\right)^{2}-\left(y-y_{d}\right)^{2}\right], \\ G_{y x y}\left(x, y ; x_{d}, y_{d}\right)=\frac{\left(y-y_{d}\right)}{r^{4}}\left[\left(x-x_{d}\right)^{2}-\left(y-y_{d}\right)^{2}\right] \\ \text { 이며 } r^{2}=\left(x-x_{d}\right)^{2}+\left(y-y_{d}\right)^{2} \text { 이다. }\end{array}\end{aligned}\)       (12) 

식 (11)과 (12)에서 , G_{ki j}(x, y,;x_d, y_d), (k, i, j = x, y)는 응력의 결정에 영향을 미치는 함수가 되어 이를 영향 함수 (influence function)라 칭한다.

무한 평판인 경우(Fig. 3)에 적용되는 위의 식 (11)과 (12)에 의해 Fig. 2의 자유면(-b≤x≤0 )과 ( 0≤y≤a )에는 응력이 존재하게 되므로 이를 제거하여야 한다. 이를 위해 Fig. 4에 나타낸 것과 같이 자유면에 연속된 전위를 부여하고 이로부터 발생하는 자유면 위치에서의 응력과 향후 완전접촉 경계에서 수직한 방향으로 진전하는 균열을 또다른 연속된 전위로 나타내기 위해 완전접촉 경계에서 y축을 따라 아래쪽 임의의 위치에(Fig. 2에서 y = − η의 위치; 0<|η|

Fig. 4. Continuous distribution of edge disloactions on the free surafces to perform a traction free condition.

Fig. 2의 자유면 위치에 연속적으로 분포된 전위에 의한 응력을 구할 때, 식 (9)와 (11)의 b_x, b_y대신, 전위분포 구간에 b_x, b_y의 미분을 취하여 밀도의 형태로 표현하고 전위가 분포된 구간에 대해 적분을 수행함으로써 계산한다. 이를위해전위밀도함수(dislocation density function), B_x, B_y를 도입하여 각각 Burgers vector 성분 b_x, b_y에 대해 아래와 같이 정의되는 함수로 사용한다.

\(\begin{aligned}\begin{array}{l}B_{x}\left(x_{d}\right)=\frac{d b_{x}}{d x_{d}}, B_{x}\left(y_{d}\right)=\frac{d b_{x}}{d y_{d}}, B_{y}\left(x_{d}\right)=\frac{d b_{y}}{d x_{d}}, \\ B_{y}\left(y_{d}\right)=\frac{d b_{y}}{d y_{d}}\end{array}\end{aligned}\)       (13)

이에 따라 향후 무응력 조건을 부여하기 위한 응력 성분으로서 자유면에 분포시킨 연속된 전위에 의한 응력은 전위밀도함수를 이용하여 다음과 같이 기술된다.

i) -b≤x≤0 (y = 0) 구간

\(\begin{aligned}\begin{array}{l}\sigma_{y y}^{F H}= \\ \frac{2 G}{\pi(\kappa+1)}\left[\int_{0}^{a}\left\{G_{x y y}\left(x, 0 ; 0, y_{d}\right) B_{x}\left(y_{d}\right)+\right.\right. \\ \left.G_{y y y}\left(x, 0 ; 0, y_{d}\right) B_{y}\left(y_{d}\right)\right\} d y_{d}+ \\ \int_{-b}^{0}\left\{G_{x y y}\left(x, 0 ; x_{d}, 0\right) B_{x}\left(x_{d}\right)+\right. \\ \left.\left.G_{y y y}\left(x, 0 ; x_{d}, 0\right) B_{y}\left(x_{d}\right)\right\} d x_{d}\right]\end{array}\end{aligned}\)       (14)

\(\begin{aligned}\begin{array}{l}\sigma_{x y}^{F H}= \\ \frac{2 G}{\pi(\kappa+1)}\left[\int_{0}^{a}\left\{G_{x x y}\left(x, 0 ; 0, y_{d}\right) B_{x}\left(y_{d}\right)+\right.\right. \\ \left.G_{y x y}\left(x, 0 ; 0, y_{d}\right) B_{y}\left(y_{d}\right)\right\} d y_{d}+ \\ \int_{-b}^{0}\left\{G_{x x y}\left(x, 0 ; x_{d}, 0\right) B_{x}\left(x_{d}\right)+\right. \\ \left.\left.G_{y x y}\left(x, 0 ; x_{d}, 0\right) B_{y}\left(x_{d}\right)\right\} d x_{d}\right]\end{array}\end{aligned}\)       (15)

ii) 0≤y≤a(x = 0) 구간

\(\begin{aligned}\begin{array}{l}\sigma_{x x}^{F V}= \\ \frac{2 G}{\pi(\kappa+1)}\left[\int_{0}^{a}\left\{G_{x x x}\left(0, y ; 0, y_{d}\right) B_{x}\left(y_{d}\right)+\right.\right. \\ \left.G_{y x x}\left(0, y ; 0, y_{d}\right) B_{y}\left(y_{d}\right)\right\} d y_{d}+ \\ \int_{-b}^{0}\left\{G_{x x x}\left(0, y ; x_{d}, 0\right) B_{x}\left(x_{d}\right)+\right. \\ \left.\left.G_{y x x}\left(0, y ; x_{d}, 0\right) B_{y}\left(x_{d}\right)\right\} d x_{d}\right]\end{array}\end{aligned}\)       (16)

\(\begin{aligned}\begin{array}{l}\sigma_{x y}^{F V}= \\ \frac{2 G}{\pi(\kappa+1)}\left[\int_{0}^{a}\left\{G_{x x y}\left(0, y ; 0, y_{d}\right) B_{x}\left(y_{d}\right)+\right.\right. \\ \left.G_{y x y}\left(0, y ; 0, y_{d}\right) B_{y}\left(y_{d}\right)\right\} d y_{d}+ \\ \int_{-b}^{0}\left\{G_{x x y}\left(0, y ; x_{d}, 0\right) B_{x}\left(x_{d}\right)+\right. \\ \left.\left.G_{y x y}\left(0, y ; x_{d}, 0\right) B_{y}\left(x_{d}\right)\right\} d x_{d}\right]\end{array}\end{aligned}\)       (17)

한편 (x, y) = (0, −η)에 위치한 전위에 의한 자유면에서의 응력은 다음과 같이 기술된다.

i) -b≤x≤0(y = 0) 구간

\(\begin{aligned}\begin{array}{l}\sigma_{y y}^{D H}= \\ \frac{2 G}{\pi(\kappa+1)}\left[G_{x y y}(x, 0 ; 0,-\eta) b_{x}(0,-\eta)+\right. \\ \left.G_{y y y}(x, 0 ; 0,-\eta) b_{y}(0,-\eta)\right]\end{array}\end{aligned}\)       (18)

σ_xy^DH = [G_xxy(x, 0;0, -η)b_x (0, -η) +G_yxy(x, 0;0, -η) b_y(0 -η)],       (19)

ii) 0≤y≤a(x = 0) 구간

\(\begin{aligned}\begin{array}{l}\sigma_{x x}^{D V}= \\ \frac{2 G}{\pi(\kappa+1)}\left[G_{x x x}(0, y ; 0,-\eta) b_{x}(0,-\eta)+\right. \\ \left.G_{y x x}(0, y ; 0,-\eta) b_{y}(0,-\eta)\right]\end{array}\end{aligned}\)       (20)

\(\begin{aligned}\begin{array}{l}\sigma_{x y}^{D V}= \\ \frac{2 G}{\pi(\kappa+1)}\left[G_{x x y}(0, y ; 0,-\eta) b_{x}(0,-\eta)+\right. \\ \left.G_{y x y}(0, y ; 0,-\eta) b_{y}(0,-\eta)\right] .\end{array}\end{aligned}\)      (21)

이제 앞서 서술한 것과 같이 자유면에서의 무응력 조건을 만족하기 위한 조건식은 다음과 같은 등치를 만족시키는 4개의 방정식으로 구성된 연립방정식이 된다.

σ_yy^FH = -σ_yy^DH, σ_xy^FH = -σ_xy^DH,

σ_xx^FV = -σ_xx^DV, σ_xy^FV = -σ_xy^DV.      (22)

여기서 혼돈을 피하기 위해 사용한 상하첨자는 다음과 같다. 각 응력의 하첨자는 성분을 나타내며, 상첨자 중 F는 자유면을, 그리고 D는 y = −η에 있는 전위에 의한 응력임을 의미한다. 또한 상첨자 중 H와 V는 각각 자유면의 위치가 x축(-b≤x≤0, y = 0)과 y축(0≤y≤a, x = 0)에 있다는 것을 표시하고 있다.

결과적으로 식 (22)의 연립방정식에서 미지수는 4 개의 전위밀도함수, B_x(x_d), B_x(y_d), B_y(x_d), B_y(x_d)가 되며 이들이 적분기호 내에 있으므로 구성된 방정식은 적분방정식이 된다. 이를 해석하기 위해 본 연구에서는 수치해석 방법을 사용한다. 이 방법은 파괴역학에서 균열을 연속적으로 분포된 전위로 생각하여 식 (14)-(17)에서와 유사한 전위밀도함수를 도입하고 이로부터 적분방정식을 구성하여 최종적으로 균열선단의 응력확대계수를 구하는 것으로서 기존의 문헌[12]에 잘 정리되어 있는 방법이다.

수치해석을 위해 우선 전위밀도함수가 정의된 적분 구간을 아래와 같이 정규화(normalization)한다. 이와 함께 collocation point 생성을 위해 x, y축도 동일한 방법으로 정규화한다. 즉 영향 함수, G_{ki j}(x,y;x_d, y_d)가 4개의 변수, x, y, x_d, y_d를 갖고 있으므로 각각에 대해 정규화하는 것이다.

u_x = 1 + 2x_d/b, u_y = 1 - 2y_d/a       (23)

v_x = 1 + 2x/b, v_y = 1 - 2y/a       (24)

한편, -b≤x,x_d≤0이고 0≤y,y_d≤a임을 생각할 때 식 (23)과 (24)로부터 u_x, u_y, v_x, v_y는 모두 [-1,+1]의 구간을 갖게 된다. 식 (23)과 (24)를 적용하면 식 (22)의 미지수는 B_x(u_x), B_x(u_y), B_y(u_x), B_y(u_y)가 되며, 위의 수치해석 방법[12]을 이용하면, 다음과 같이 치환할 수 있다.

B_x(u_x) = w(u_x)𝜙_x(u_x), B_x(u_y) = w(u_y)𝜙_x(u_y)       (25)

B_y(u_x) = w(u_x)𝜙_y(u_x), B_y(u_y) = w(u_y)𝜙_y(u_y).       (26)

여기서 w(u_x), w(u_y)는 fundamental function이라 부르는 것으로 전위에 의한 응력의 특이성을 표현하는 함수이다. 앞의 2.2절에서 접촉 모서리의 각도가 90°인 쐐기가 탄성적으로 동일한 반무한 평판에 응착 완전접촉하는 문제를 해석한 결과, 접촉 경계에서의 응력 특이성 지수 중 큰 값, (1 − λ_I)이 0.4555로 계산되었다. 그런데 여기서 사용하는 수치해석 방법은 응력 특이성의 지수가, 균열선단에서와 같은, 0.5인 경우에 적용하는 것으로 개발되어 있는[12] 다음의 fundamental function을 사용한다.

\(\begin{aligned}w\left(u_{x}\right)=\sqrt{\frac{1+u_{x}}{1-u_{x}}}, w\left(u_{y}\right)=\sqrt{\frac{1+u_{y}}{1-u_{y}}}.\end{aligned}\)       (27)

따라서, 식 (27)의 fundamental function을 사용할 때 응력 특이성 지수에 있어 약 10% 정도의 차이가 발생하게 됨을 알 수 있다. 그러나 이로 인한 해의 수렴성에는 문제가 없다는 것이 알려져 있고[13], 완전접촉 문제에서 나타나는 다양한 응력 특이성 지수를 표현할 수 있는 방법은 개발되어 있지 않아 본 논문에서는 식 (27)을 사용한다. 이러한 응력 특이성 지수의 차이는 향후 최종적으로 계산할 균열의 응력확대계수, K_I^crack 및 K_II^crack 값의 오차로 나타나게 될 것이다. 한편, fundamental function을 제외한 𝜙_x(u_x), 𝜙_x(u_y), 𝜙_y(u_x), 𝜙_y(u_y) 및 𝜙_y(u_y)는 해석 구간에서 특이성을 갖지 않는 미지의 함수로서 식 (22)의 연립방정식으로부터 구한다. 이로부터 최종적인 해는 식 (25)와 (26)으로 구하는 것이다.

식 (22)의 수치해석을 위해 적분 구간 내의 적분점과 collocation point는 Gauss-Jacobi 적분공식을 이용하면 다음과 같다[12].

\(\begin{aligned}u_{x i}=u_{y i}=\cos \left(\frac{2 i-1}{2 n+1} \pi\right),(i=1,2,3, \ldots, n)\end{aligned}\)      (28)

\(\begin{aligned}v_{x k}=v_{y k}=\cos \left(\frac{2 k}{2 n+1} \pi\right),(k=1,2,3, \ldots, n)\end{aligned}\)       (29)

이와 함께 식 (27)의 fundamental function은 다음과 같다[12].

\(\begin{aligned}w\left(u_{x}\right) \rightarrow W\left(u_{x i}\right)=\frac{2 \pi\left(1+u_{x i}\right)}{2 n+1},(i=1,2,3, \ldots, n)\end{aligned}\)       (30)

\(\begin{aligned}w\left(u_{y}\right) \rightarrow W\left(u_{y i}\right)=\frac{2 \pi\left(1+u_{y i}\right)}{2 n+1},(i=1,2,3, \ldots, n).\end{aligned}\)       (31)

이제 식 (28)-(31)을 사용한 식 (22)는 각각 n개의 미지수인, 𝜙_x(u_xi), 𝜙_x(u_yi), 𝜙_y(u_xi), 𝜙_y(u_yi) (i = 1,2,3,…,n)로 구성된, 즉 총 4n 개의 방정식으로 구성된, 연립방정식이 된다. 지면을 고려하여 본 논문에는 각각의 방정식을 모두 서술하지 않고 하나의 예로서 식 (22) 중 σ_yy^FH = -σ_yy^DH에 대해 아래에 기술하였다. 그 외 3 개의 방정식도 동일한 방법으로 전개하면 된다.

\(\begin{array}{l}\sum_{i=1}^{n}\left\{\left(\frac{a}{2}\right)^{2}\left[\frac{\left(1-u_{y i}\right)\left[\left\{\frac{b}{2}\left(v_{x k}-1\right)\right\}^{2}-\left\{\frac{a}{2}\left(1-u_{y i}\right)\right\}^{2}\right]}{\left[\left\{\frac{b}{2}\left(v_{x k}-1\right)\right\}^{2}+\left\{\frac{a}{2}\left(1-u_{y i}\right)\right\}^{2}\right]^{2}}\right.\right. \\ \left.\times \frac{2 \pi\left(1+u_{y i}\right)}{2 n+1} \phi_{x}\left(u_{y i}\right)\right]+ \\ \left(-\frac{a}{2}\right)\left(\frac{b}{2}\right)\left[\frac{\left(v_{x k}-1\right)\left[\left\{\frac{b}{2}\left(v_{x k}-1\right)\right\}^{2}+3\left\{\frac{a}{2}\left(1-u_{y i}\right)\right\}^{2}\right]}{\left[\left\{\frac{b}{2}\left(v_{x k}-1\right)\right\}^{2}+\left\{\frac{a}{2}\left(1-u_{y i}\right)\right\}^{2}\right]^{2}}\right. \\ \left.\times \frac{2 \pi\left(1+u_{y i}\right)}{2 n+1} \phi_{y}\left(u_{y i}\right)\right]+ \\ \left(-\frac{a}{2}\right)\left(\frac{b}{2}\right)\left[\frac{0 \times\left[\left\{\frac{b}{2}\left(v_{x k}-1\right)\right\}^{2}-\left\{\frac{a}{2}\left(1-u_{y i}\right)\right\}^{2}\right]}{\left[\left\{\frac{b}{2}\left(v_{x k}-1\right)\right\}^{2}+\left\{\frac{a}{2}\left(1-u_{y i}\right)\right\}^{2}\right]^{2}}\right. \\ \left.\times \frac{2 \pi\left(1+u_{x i}\right)}{2 n+1} \phi_{x}\left(u_{x i}\right)\right]+ \\ \left.\frac{1}{v_{x k}-u_{x i}} \times \frac{2 \pi\left(1+u_{x i}\right)}{2 n+1} \phi_{y}\left(u_{x i}\right)\right\}+ \\ \left\{b_{x}\left(\frac{\eta \times\left[\left\{\frac{b}{2}\left(v_{x k}-1\right)\right\}^{2}-\eta^{2}\right]}{\left[\left\{\frac{b}{2}\left(v_{x k}-1\right)\right\}^{2}+\eta^{2}\right]^{2}}\right)+\right. \\ \left.b_{y}\left(\frac{\frac{b}{2}\left(v_{x k}-1\right)\left[\left\{\frac{b}{2}\left(v_{x k}-1\right)\right\}^{2}+3 \eta^{2}\right]}{\left.\left[\left\{\frac{b}{2}\left(v_{x k}-1\right)\right\}^{2}+\eta^{2}\right]^{2}\right]}\right)\right\}=0 . \\\end{array}\)       (32)

본 논문에서의 수치해석을 수행할 때 특별히 아래의 두 가지 문제를 고려하여야 한다. 우선 해석 영역이 무한 평판인 Fig. 3인 경우에 대해 성립하는 응력장인 식(11)과 (12)를 Fig. 2와 같은 본 논문의 자유면을 갖는 영역의 응력장을 구하는 데에 적용하기 위해 자유면의 구간을 -b≤x≤0 및 0≤y≤a 로 설정하였으므로 a,b → ∞의 조건을 수치적으로 표현하는 방법이다. 이를 위해 본 논문에서는 a/η, b/η의 비를 임의의 값, N으로 하고 N을 크게 취하는 방법을 사용한다. 따라서 식 (32)에서 등호의 바로 앞 두 개의 항인, b_x, b_y의 항에 있는 η는 η = N·b로 치환한다. 이것은 σ_xy^FH = -σ_xy^DH의 식에도 동일하다. 이에 대해 0≤y≤+a구간의 σ_xx^FV = -σ_xx^DV, σ_xy^FV = -σ_xy^DV 식에서는 η = N·b로 치환한다. 한편 a = b로 한다.

수치해석에서 또 하나 고려하여야 하는 것은 방정식의 개수를 결정하는 n 값이다. 앞서 기술한 것과 같이 본 문제의 미지수인 4n개의 𝜙_x(u_xi), 𝜙_x(u_yi), 𝜙_y(u_xi), 𝜙_y(u_yi), (i = 1,2,3,…,n)는 n 값을 크게 취할수록 엄밀한 함수 해에 더욱 근사한 결과를 보여줄 것이다. 그 반면에 n값의 증가는 계산 시간의 증가를 의미한다. 따라서 적절한 값의 N과 n을 결정할 필요가 있으며 이는 해당 함수의 수렴성으로부터 찾을 것이다.

결과적으로 위에서 구한 𝜙_x(u_xi), 𝜙_x(u_yi), 𝜙_y(u_xi), 𝜙_y(u_yi), (i = 1,2,3,…,n)를 Fig. 2와 같이 자유면을 갖는 영역에서 y = −η의 위치에 전위가 존재할 때 그 영역 내의 응력장을 구할 수 있는 함수로 사용하게 된다. 따라서 이를 이용하여 Fig. 3과 같은 무한 평판 내의 응력을 구할 수 있는 식 (11) 및 (12)로부터, Fig. 2와 같이 y = −η의 위치에 전위가 존재하고 자유면을 갖는, Fig. 2 영역에서의 응력장을 구할 수 있는 보정 함수를 다음과 같이 기술할 수 있다. 이때 전위는 y축 상에 있으므로 보정 함수는 y축 상의 σ_xx와 σ_xy에 대해 구한다.

\(\begin{aligned}\begin{array}{l} \bullet \sigma_{x x}(0, y ; 0,-\eta) \\ \frac{2 G}{\pi(\kappa+1)}\left[\int_{0}^{a}\left\{G_{x x x}\left(0, y ; 0, y_{d}\right) B_{x}\left(y_{d}\right)+\right.\right. \\ \left.G_{y x x}\left(0, y ; 0, y_{d}\right) B_{y}\left(y_{d}\right)\right\} d y_{d}+ \\ \int_{-b}^{0}\left\{G_{x x x}\left(0, y ; x_{d}, 0\right) B_{x}\left(x_{d}\right)+G_{y x x}\left(0, y ; x_{d}, 0\right) B_{y}\left(x_{d}\right)\right\} d x_{d} \\ \left.+G_{x x x}(0, y ; 0,-\eta) b_{x}(0,-\eta)+G_{y x x}(0, y ; 0,-\eta) b_{y}(0,-\eta)\right] \\ \quad=\frac{2 G}{\pi(\kappa+1)}\left[\left\{G_{x x x}(0, y ; 0,-\eta)+F_{x x x}(\hat{y})\right\} b_{x}(0,-\eta)+\right. \\ \left.\quad\left\{G_{y x x}(0, y ; 0,-\eta)+F_{y x x}(\hat{y})\right\} b_{y}(0,-\eta)\right]\end{array}\end{aligned}\)       (33)

\(\begin{aligned}\begin{array}{l} \bullet \sigma_{x y}(0, y ; 0,-\eta) \\ \frac{2 G}{\pi(\kappa+1)}\left[\int_{0}^{a}\left\{G_{x x y}\left(0, y ; 0, y_{d}\right) B_{x}\left(y_{d}\right)+\right.\right. \\ \left.G_{y x y}\left(0, y ; 0, y_{d}\right) B_{y}\left(y_{d}\right)\right\} d y_{d}+ \\ \int_{-b}^{0}\left\{G_{x x y}\left(0, y ; x_{d}, 0\right) B_{x}\left(x_{d}\right)+G_{y x y}\left(0, y ; x_{d}, 0\right) B_{y}\left(x_{d}\right)\right\} d x_{d} \\ \left.+G_{x x y}(0, y ; 0,-\eta) b_{x}(0,-\eta)+G_{y x y}(0, y ; 0,-\eta) b_{y}(0,-\eta)\right] \\ \quad=\frac{2 G}{\pi(\kappa+1)}\left[\left\{G_{x x y}(0, y ; 0,-\eta)+F_{x x y}(\hat{y})\right\} b_{x}(0,-\eta)+\right. \\ \left.\quad\left\{G_{y x y}(0, y ; 0,-\eta)+F_{y x y}(\hat{y})\right\} b_{y}(0,-\eta)\right]\end{array}\end{aligned}\)       (34)

식 (33), (34)에 있는 F_xxx(ŷ), F_yxx(ŷ), F_xxy(ŷ), F_yxy(ŷ)가 구하고자 하는 보정 함수이며, 이때 ŷ = y / n이다. 여기서 알 수 있듯이 보정 함수, F_kij(ŷ)(=F_kij(y, η))역시 무한 평판에서의 영향 함수, G_kij(x, y;x_d, y_d) (식 (11) 및 (12))와 같이 하첨자에 Burgers vector 성분(b_x, b_y; k에 해당)과 응력 성분(ij에 해당)이 표기됨을 알 수 있다. 한편 식 (33)과 (34)의 양변에 각각 y = −η의 위치에 있는 전위에 의한 응력 항이 있어 이 항들은 모두 소거되게 된다. 따라서 보정 함수는 자유면에 연속적으로 분포한 전위에 의한 응력 항이 된다는 것을 알 수 있다. 아래에 식 (33),(34)에서의 보정 함수를 계산한 결과를 기술한다.

\(\begin{aligned}\begin{array}{l}F_{x x x}(y, \eta) \equiv F_{x x x}(\hat{y}) \\ =\sum_{i=1}^{n}\left[\left(-\frac{a}{2}\right)\left\{G_{x x x}\left(0, y ; 0,\left(-\frac{a\left(u_{y i}-1\right)}{2}\right)\right)\right.\right. \\ \quad \times W\left(u_{x i}\right) \phi_{x}\left(u_{y i}\right)+G_{y x x}\left(0, y ; 0,\left(-\frac{a\left(u_{y i}-1\right)}{2}\right)\right) \\ \left.\quad \times W\left(u_{y i}\right) \phi_{y}\left(u_{y i}\right)\right\}+\left(\frac{b}{2}\right)\left\{G_{x x x}\left(0, y ;\left(\frac{b\left(u_{x i}-1\right)}{2}\right), 0\right)\right. \\ \quad \times W\left(u_{x i}\right) \phi_{x}\left(u_{x i}\right) \\ \left.\left.\quad+G_{y x x}\left(0, y ;\left(\frac{b\left(u_{x i}-1\right)}{2}\right), 0\right) \times W\left(u_{y i}\right) \phi_{y}\left(u_{x i}\right)\right\}\right]\end{array}\end{aligned}\)       (35)

\(\begin{aligned}\begin{array}{l}F_{y x x}(y, \eta) \equiv F_{y x x}(\hat{y}) \\ =\sum_{i=1}^{n}\left[\left(-\frac{a}{2}\right)\left\{G_{x x x}\left(0, y ; 0,\left(-\frac{a\left(u_{y i}-1\right)}{2}\right)\right)\right.\right. \\ \quad \times W\left(u_{x i}\right) \phi_{x}\left(u_{y i}\right)+G_{y x x}\left(0, y ; 0,\left(-\frac{a\left(u_{y i}-1\right)}{2}\right)\right) \\ \left.\times W\left(u_{y i}\right) \phi_{y}\left(u_{y i}\right)\right\} \\ \quad+\left(\frac{b}{2}\right)\left\{G_{x x x}\left(0, y ;\left(\frac{b\left(u_{x i}-1\right)}{2}\right), 0\right)\right. \\ \quad \times W\left(u_{x i}\right) \phi_{x}\left(u_{x i}\right) \\ \left.\left.\quad+G_{y x x}\left(0, y ;\left(\frac{b\left(u_{x i}-1\right)}{2}\right), 0\right) \times W\left(u_{y i}\right) \phi_{y}\left(u_{x i}\right)\right\}\right]\end{array}\end{aligned}\)       (36)

\(\begin{aligned}\begin{array}{l}F_{x x y}(y, \eta) \equiv F_{x x y}(\hat{y}) \\ =\sum_{i=1}^{n}\left[\left(-\frac{a}{2}\right)\left\{G_{x x y}\left(0, y ; 0,\left(-\frac{a\left(u_{y i}-1\right)}{2}\right)\right)\right.\right. \\ \quad \times W\left(u_{x i}\right) \phi_{x}\left(u_{y i}\right)+G_{y x y}\left(0, y ; 0,\left(-\frac{a\left(u_{y i}-1\right)}{2}\right)\right) \\ \left.\quad \times W\left(u_{y i}\right) \phi_{y}\left(u_{y i}\right)\right\} \\ \quad+\left(\frac{b}{2}\right)\left\{G_{x x y}\left(0, y ;\left(\frac{b\left(u_{x i}-1\right)}{2}\right), 0\right)\right. \\ \quad \times W\left(u_{x i}\right) \phi_{x}\left(u_{x i}\right) \\ \left.\left.\quad+G_{y x y}\left(0, y ;\left(\frac{b\left(u_{x i}-1\right)}{2}\right), 0\right) \times W\left(u_{y i}\right) \phi_{y}\left(u_{x i}\right)\right\}\right]\end{array}\end{aligned}\)       (37)

\(\begin{aligned}\begin{array}{l}F_{y x y}(y, \eta) \equiv F_{y x y}(\hat{y}) \\ =\sum_{i=1}^{n}\left[\left(-\frac{a}{2}\right)\left\{G_{x x y}\left(0, y ; 0,\left(-\frac{a\left(u_{y i}-1\right)}{2}\right)\right)\right.\right. \\ \quad \times W\left(u_{x i}\right) \phi_{x}\left(u_{y i}\right)+G_{y x y}\left(0, y ; 0,\left(-\frac{a\left(u_{y i}-1\right)}{2}\right)\right) \\ \quad \begin{array}{r}\left.+\left(\frac{b}{2}\right)\left\{G_{y x}\right) \phi_{y}\left(u_{y i}\right)\right\} \\ \quad \times W\left(0, y ;\left(\frac{b\left(u_{x i}-1\right)}{2}\right), 0\right)\end{array} \\ \left.\left.\quad+G_{y x y}\left(0, y ;\left(\frac{b\left(u_{x i}-1\right)}{2}\right), 0\right) \times W\left(u_{y i}\right) \phi_{y}\left(u_{x i}\right)\right\}\right]\end{array}\end{aligned}\)       (38)

3. 결과 및 토의

식 (35)-(38)의 결과를 Fig. 5에 도시한다. 계산은 상용 프로그램 Mathematica [14]를 사용하였으며 이때 n = 500, N (= a/η, b/η) = 80으로 하였다. 계산 결과 보정함수는 다음의 특징을 갖고 있다.

Fig. 5. Corrective functions.

i) F_xxx(ŷ) = F_yxy(ŷ), 즉 σ_xx에 대한 보정 함수 중 Burgers vector, b_x에 의한 것은 σ_xy에 대한 보정 함수 중 Burgers vector, b_y에 의한 것과 동일하다. 또한 항상 음(-)의 값을 가지며 반무한 평판의 내부로 들어 가며(ŷ가 음의 방향으로 증가할 때) 단조증가한 후 ŷ →-∞ 일 때 0⁺로 수렴한다.

ii)F_xxy(ŷ) = F_yxx(ŷ),는 반무한 평판의 내부로 들어 가며 음(-)의 값에서 증가하여 양(+)의 값으로 바뀐 후 다시 감소한 다음 ŷ →-∞ 일 때 0⁺로 수렴한다.

4개의 보정 함수가 ŷ→-∞일 때 0으로 수렴한다는 것은 전위가 있는 위치로부터 멀어질수록 자유면의 존재로 인한 응력장 변화의 정도가 감소하게 됨을 의미하며 이에 따라 원점으로부터 아주 멀리 떨어진 위치에서는 자유면을 고려한 응력 보정이 필요치 않게 된다는 것을 의미한다.

y = −η의 위치에 있는 전위는 향후 접촉경계에서 생성되어 접촉면에 수직한 방향으로 성장하는 균열을 모사하게 된다. 따라서, ŷ→-∞일 때 응력의 보정이 필요치 않게 된다는 것은, 정량적인 수치로 나타내기는 어려우나, 균열 길이가 길 경우에는 무한 평판 내부에 동일한 길이의 균열이 있는 문제로 치환하여 해석할 수 있다는 것을 시사한다.

앞서 언급하였듯이, 본 논문에서 보정 함수를 구하기 위해 사용한 수치해석 방법에는 사용자가 결정하는 변수로서 방정식의 개수를 결정하는 n과 무한 길이의 자유면을 유한한 길이로 가정할 때 사용되는 N이 있다. 이에 따라 n과 N의 변화에 따른 보정 함수의 수렴 거동을 조사할 필요가 있다. 조사한 방법은 n과 N 중 하나를 고정한 상태에서 상대 변수의 변화에 따른 보정 함수의 변화를 관찰하였다. 이 수치적 실험을 위해 사용한 변수는 n = 10, 50, 100과 N = 10, 50, 100이었다.

Fig. 6(a)-(c)에서 n = 10, 50, 100 인 각각의 경우에 N = 10, 50, 100일 때 F_yxx(ŷ)의 변화 거동을 관찰할수 있다. F_xxx(ŷ), F_xxy(ŷ), F_yxy(ŷ) 에서도 거의 동일한 변화 거동을 보였으므로 따로 나타내지는 않았다. 이로부터 n, N ≥ 50이면 각각의 보정 함수가 충분히 수렴된다고 생각할 수 있으며 본 논문의 Fig. 5를 얻을 때 사용한 n = 500, N = 80은 충분히 수렴된 결과를 주는 적절한 값이라고 판단된다. 물론 수렴성에 대한 보다 정확하고 엄밀한 평가를 위해서는 ŷ축 상의 모든 점에서 n과 N의 변화에 따른 차이를 분석할 필요가 있다. 그러나 여기서는 Fig. 6등과 같은 그래프의 관찰을 통해 앞서 매우 복잡한 계산을 수행하여 얻은 보정 함수의 수렴성이 충분히 확인되었다고 생각되어 추가적인 분석은 수행하지 않았다.

Fig. 6. Converging behaviour of the corrective function with varying n and N (typical example of F_yxx(ŷ)).

4. 결론

본 논문에서는 직각 쐐기와 응착 완전접촉을 하는 반무한 평판 내 접촉경계의 연직 하방에있는 전위에 의해 발생하는 응력장을 해석하였다. 이때 두 접촉물체의 탄성적 성질이 동일한 경우로 가정하고 무한 평판 내 하나의 전위에 대한 응력 포텐셜과 응력 사이의 관계식을 이용하였다. 제1부 논문은 접촉문제에서 나타나는 자유면의 무응력 조건을 이 관계식을 변형하여 구할 수 있도록 보정 함수를 유도하고 수렴성을 확인한 것이다. 이 결과는 접촉경계의 아래에 성장하는 균열의 해석을 위해 사용할 수 있으며 이를 위한 구체적인 방법은 연속된 제2부에 기술할 것이다.